En clase hemos visto cómo calcular la curvatura de una curva plana regular si tenemos una parametrización en coordenadas cartesianas \(\alpha (t)=(x(t),y(t))\). En esta página tienes las fórmulas necesarias para calcular la curvatura usando coordenadas grafo, polares o cuando sólo disponemos de la ecuación implícita de la curva.
- Sea \(f\colon (a,b)\to \mathbb{R}\) una función diferenciable y \(\alpha \colon (a,b)\to \mathbb{R}^2\) la curva dada por \(\alpha (t)=(t,f(t))\). Probar que la curvatura de \(\alpha \) viene dada por
$$
\kappa =\frac{f^{\prime \prime}}{[1+(f’)^2]^{3/2}}.
$$ - Sea \(\beta (\theta )=r(\theta )(\cos \theta ,\sin \theta )\) una curva plana escrita en coordenadas polares, donde \(r(\theta )\) es una función de clase \(C^{\infty }\) y positiva. Demostrar que la curvatura de \(\beta \) es
$$
\kappa =\frac{2(r’)^2-rr^{\prime \prime}+r^2}{[r^2+(r’)^2]^{3/2}}.
$$ - Sea \(F\colon O\to \mathbb{R}\) una función diferenciable definida en un abierto \(O\) de \(\mathbb{R}^2\), y \(a\in \mathbb{R}\) un valor regular de \(F\), es decir, \(F^{-1}(\{ a\} )\neq \emptyset \) y \(\forall (x,y)\in F^{-1}(\{ a\} )\), \(\nabla F(x,y)\neq (0,0)\), donde \(\nabla F\) denota el gradiente de \(F\). Demostrar que cada componente conexa del conjunto \(\{ (x,y)\in O \ | \ F(x,y)=a\} \) es una curva regular, y que su curvatura (salvo el signo) viene dada por
$$
\kappa =\frac{(\nabla ^2F)(J\nabla F,J\nabla F)}{\| \nabla F\| ^3},
$$
donde \(\nabla ^2F\) es el hessiano de \(F\) y \(J\) es el giro de 90º.
Tu publicación me salvó la vida en geometría diferencial, muchas gracias c:
En caso de ecuaciones implícita en R^3 de superficies F(x,y,z)=0, es aplicable la formulación anterior para una curva X(t) sobre la misma localmente? Es decir, dot X=[J] \nabla F(x,y,z), siendo X(t)=(x(t),y(t),z(t)) y [J] una rotación de pi/2 alrededor del eje -eta=n x lambda, n=nabla F/|nabla F| la normal exterior a la superficie y lambda=dot X/|dot X| ?
Tu pregunta está mal formulada: Supongamos que una superficie $S$ se escribe localmente en implícitas $F(x,y,z)=0$, siendo $0$ un valor regular de una función diferenciable $F=F(x,y,z)$. Supongamos también que $X=X(t)$ es una curva diferenciable con valores en $S$, por tanto $F\circ X=0$. Derivando esta ecuación, tenemos que $(\nabla F)\circ X$ es ortogonal a $\dot{X}$. Ahora supongamos que $X$ es regular, es decir, $\dot{X}$ no tiene ceros. Entonces, popdemos completar (localmente) $\dot{X}$ a una base ortogonal del plano tangente a $S$ en $X$ mediante $\{ \dot{X}, \lambda\} $, siendo $\lambda =J\circ \dot{X}$ la rotación de 90 grados en el plano tangente a $S$. Pero $\lambda$ no tiene porqué ser unitario, a menos que $\dot{X}$ lo sea. Si es unitario, entonces $\lambda =N\times \dot{X}$. Tu fórmula dot X=[J] \nabla F(x,y,z) no tiene sentido, ya que $\dot{X}$ es tangente a $S$ y $J$ es un endomorfismo del plano tangente a $S$, pero $\nabla F$ va en la dirección normal a $S$.
Gracias.
Debí reformular mi pregunta: se ha hecho en 3D?
Antes quise intentar dar un rastro a la solución del problema planteado.
Se puede obtener la curvatura a partir de una formulación polar inversa para una curva plana, es decir, theta=theta(r), en lugar de la convencional r=r(theta), como está arriba en el punto 2.
disculpe la insistencia. He querido aplicar la formulación implícita al caso explicado en la tractriz polar (a=R)
https://www.researchgate.net/publication/337313202_Tractriz
pero todavía no me convenzo en aplicarla a theta=F(r), puesto que en el caso convencional r=f(theta) no me dá el resultado esperado. Me gustaría saber que estoy haciendo mal o si no estoy siguiendo bien las condiciones requeridas para aplicarla.
Creo haber logrado la descripción en 3D de la curvatura de una curva inmersa en una superficie con ecuación implícita. g(x,y,z)=c. Por favor revisa en https://www.academia.edu/104998977/Curve
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