Geodésicas en una superficie de revolución

En esa entrada indicaremos cómo determinar las geodésicas de la superficie \(S\) obtenida al revolucionar una curva (generatriz)
$$
\alpha (t)=(x(t),0,z(t)), \qquad t\in I,
$$
alrededor del eje \(z\). Como en otras ocasiones, supondremos que \(I\) es un intervalo de \(\mathbb{R}\) y que \(x(t)\gt 0\) para todo \(t\), para así no tener singularidades en \(S\). Además, podemos suponer que \(\alpha \) está parametrizada por el arco (eso no cambia el conjunto \(S\)). Llamaremos \(^{\prime}=\frac{d}{dt}\).

La parametrización estándar de \(S\) es \(X(t,\theta )=\left( x(t)\cos \theta ,x(t)\sin \theta ,z(t)\right) \).
Calculamos los coeficientes de la primera forma fundamental respecto a \(X\):
\[
E=1,\qquad F=0,\qquad G(t,\theta )=x(t)^2.
\]
Ahora usamos esta entrada para escribir el sistema de EDO a resolver para encontrar las geodésicas de \(S\):
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}+\Gamma _{11}^1(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^1(\gamma )\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^1(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\\
\ddot{\theta }+\Gamma _{11}^2(\gamma )(\dot{t})^2+2\Gamma _{12}^2(\gamma
)\dot{t}\dot{\theta}+\Gamma _{22}^2(\gamma )(\dot{\theta })^2=0,
\end{array}
\right.
\]
donde la geodésica buscada se escribe \(\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))\) (o sea, queremos determinar \(t(u)\) y \(\theta (u)\)), \(\dot{}=\frac{d}{du}\) y los \(\Gamma _{ij}^k\) son los símbolos de Christoffel de \(S\) respecto a \(X\). En nuestro caso, es fácil comprobar que estos símbolos son
\[
\Gamma _{12}^2(X(t,\theta ))=\frac{x'(t)}{x(t)},\quad \Gamma _{22}^1(X(t,\theta ))=-x(t)x'(t),
\]
y el resto de símbolos de Christoffel son cero. Por tanto, nuestro sistema de EDO se escribe
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\ddot{t}-x(t)x'(t)(\dot{\theta})^2=0,
\\
\ddot{\theta }+2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}\dot{\theta}=0,
\end{array}
\right.
\]
La primera consecuencia del sistema anterior es que las generatrices de \(S\) son geodésicas, si se parametrizan proporcionalmente al arco. Esto determina las geodésicas \(\gamma \) de \(S\) en las que \(\theta \) es constante, y quitándonos este caso, la unicidad de las geodésicas nos permite suponer que nuestra geodésica \(\gamma (u)=X(t(u),\theta (u))\) cumple que \(\dot{\theta }(u)\) no tiene ceros.

Hemos visto que todas las generatrices (meridianos) son geodésicas de \(S\). Así que tiene sentido preguntarse: ¿Qué meridianos (es decir, curvas \(\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))\)) son geodésicas?

Del sistema anterior se deduce que \(-x(t_0)x'(t_0)(\dot{\theta})^2=0\), y como podíamos suponer que \(\dot{\theta }(u)\) no tiene ceros, deducimos que \(x'(t_0)=0\). Recíprocamente, si \(\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))\) cumple \(x'(t_0)=0\), entonces la primera ecuación del sistema se satisface trivialmente, mientras que la segunda se satisface siempre que \(\theta (u)\) sea una función afín de \(u\). Por tanto:

Un meridiano \(\gamma (u)=X(t_0,\theta (u))\) es geodésica de \(S\) si y sólo si \(x'(t_0)=0\) (es decir, \(\alpha'(t_0)\) es vertical, o equivalentemente, la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico).

Antes de estudiar las geodésicas de \(S\) que no sean meridianos ni paralelos, es conveniente deducir la relación de Clairaut: Recordemos que sobre una geodésica \(\gamma (u)\), la velocidad tiene norma constante. Por tanto,
\[
c^2=\| \dot{\gamma } \| ^2=(\dot{t})^2+x^2(t)(\dot{\theta })^2,\qquad (1)
\]
para cierta constante \(c\geq 0\) (podemos suponer \(c\gt 0\) ya que si \(c=0\) entonces \(\gamma \) es un punto). Por otro lado,
\[
\frac{d}{du}[x^2(t(u))\dot{\theta }(u)]=2xx’\dot{t}\dot{\theta }+x^2\ddot{\theta }=0,
\]
sin más que sustituir la segunda de las ecuaciones del sistema de las geodésicas. Eso nos dice que
\[
x^2(t(u))\dot{\theta }(u)=d\in \mathbb{R} \quad \mbox{(constante).}
\]
Si calculamos el ángulo \(\varphi =\varphi (u)\) que forma la geodésica \(\gamma \) con cada paralelo que la corte, obtenemos
\[
\cos \varphi (u)=\frac{\langle \dot{\gamma },X_{\theta }\rangle }{\| \dot{\gamma }\| \| X_{\theta }\| }
=\frac{\dot{\theta }x^2}{c\, x}=\frac{\dot{\theta }x}{c},
\]
Luego al multiplicar \(\cos \varphi (u)\) por la distancia de \(\gamma (u)\) al eje de revolución nos queda constante: ésta es la relación de Clairaut.
\[
x(t(u))\cos \varphi (u)=\frac{x^2(t(u))\dot{\theta }(u)}{c}=\frac{d}{c},

\]
Notemos que si una geodésica \(\gamma (u)\) tiene un punto \(\gamma (u_0)\) con tangente horizontal, entonces o bien el paralelo que pasa por \(\gamma (u_0)\) es geodésica (esto ocurre si y sólo si la distancia de la generatriz al eje de revolución tiene un punto crítico, y en tal caso por unicidad de geodésicas \(\gamma \) coincide con ese paralelo), o bien el paralelo que pasa por \(\gamma (u_0)\) no es geodésica, pero en tal caso \(\cos \varphi (u)=1\). Por la relación de Clairaut, los puntos \(\gamma (u)\) en los que la última posibilidad ocurre cumplen \(x(t(u))=d/c\), luego esta última posibilidad sólo ocurre en puntos aislados de \(\gamma \).

Vamos ya a determinar las geodésicas de \(S\) que no son paralelos ni meridianos: Como podíamos suponer que \(\dot{\theta }(u)\) no tiene ceros, la segunda ecuación del sistema de las geodésicas se puede escribir
\[
\frac{\ddot{\theta }}{\dot{\theta }}= -2\frac{x'(t)}{x(t)}\dot{t}
\]
o equivalentemente,
\[
\frac{d}{du}[\log \dot{\theta }(u)]=-2\frac{d}{du}[\log(x(t(u)))].
\]
Integrando,
\[
\log \dot{\theta }(u)=-2 \log(x(t(u))) + C,
\]
para cierta constante \(C\in \mathbb{R}\). Por tanto,
$$
\dot{\theta }(u)=\frac{e^C}{x(t(u))^2},\qquad (2)
$$
o bien
\[
\theta (u)=\int ^u\frac{e^C}{x(t(u))^2}\, du. \qquad (3)
\]
La ultima fórmula nos dice que si obtenemos \(t(u)\) entonces podremos sustituir en dicha fórmula para deducir \(\theta (u)\). O dicho de otra forma, sólo necesitamos conocer \(t(u)\).

A continuación veremos que \(t(u)\) puede obtenerse integrando una EDO de primer orden. Sustituímos (2) en (1):
\[
c^2=(\dot{t}(u))^2+\frac{e^{2C}}{x(t(u))^2},
\]
luego
\[
\dot{t}(u)=\pm \frac{\sqrt{c^2x(t(u))^2-e^{2C}}}{x(t(u))},\qquad (4)
\]
que es una EDO de primer orden. Una vez resuelta (4) podremos sustituir en (3) y con ello obtener \(\gamma (u)\). Pero claro, en general no podemos asegurar encontrar EXPLÍCITAMENTE la solución general de (4). Si no estamos interesados en cómo se recorra \(\gamma (u)\) sino sólo en su traza, podremos prescindir del parámetro \(u\), dando la curva \(\gamma \) en ecuaciones implícitas \(\theta =\theta (t)\) respecto a las coordenadas \(t,\theta \) (esto podrá hacerse localmente siempre que \(\dot{t}(u)\neq 0\), recordemos que esto puede suponerse salvo en puntos aislados). Derivando implícitamente,
\[
\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\theta }{du}\frac{du}{dt}=\dot{\theta }(u)\frac{1}{\dot{t}(u)}=
\pm \frac{e^C}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}},
\]
que puede integrarse directamente:
\[
\theta (t)=\pm e^C\int ^t\frac{dt}{x(t)\sqrt{c^2x(t)^2-e^{2C}}}+\mbox{cte.}
\]