Sea \(\gamma =\gamma (t)\) una curva parametrizada por el arco en una superficie \(S\subset \mathbb{R}^3\), cuya curvatura \(\kappa \) como curva en \(\mathbb{R}^3\) no tiene ceros.
Ejercicio 1. Demostrar que las coordenadas del vector \(\gamma ^{\prime \prime}(t)\) respecto de la base ortonormal \(\{ \gamma'(t), N_{\gamma (t)}\times \gamma'(t), N_{\gamma (t)}\} \) (aquí \(N\) es una aplicación de Gauss local para \(S\)) son del tipo \((0,k_g(t),k_n(t))\), donde \(k_g(t)\)es una función diferenciable y
$$
k_n(t)=\sigma _{\gamma (t)}(\gamma'(t),\gamma'(t))
$$
es la curvatura normal de \(S\) en la dirección de \(\gamma ^{\prime \prime}(t)\) respecto a la aplicación de Gauss \(N\). A la función \(k_g(t)\) se le llama la curvatura geodésica de \(\gamma \) (no depende de \(N\) salvo el signo). Por tanto,
$$
\kappa ^2=\| \gamma ^{\prime \prime}\| ^2=k_g^2+k_n^2,
$$
es decir, la curvatura de \(\gamma \) como curva en \(\mathbb{R}^3\) tiene dos «componentes»: una tangencial a \(S\) (la curvatura geodésica, que es la única observable intrínsecamente desde \(S\)) y otra normal a \(S\) (la curvatura normal, que es extrínseca).
Ejercicio 2. Deducir que las siguientes condiciones son equivalentes:
- \(\gamma \) es geodésica de \(S\).
- La curvatura geodésica \(k_g\) de \(\gamma \) es idénticamente nula.
- Para cada \(t\), el plano osculador a \(\gamma \) en \(t\) es perpendicular a \(T_{\gamma (t)}S\).
En la geometría intrínseca de \(S\), la única curvatura «visible» de \(\gamma \) es la curvatura geodésica. Esta curvatura está ligada a la curvatura de Gauss de \(S\) mediante la fórmula de Gauss-Bonnet: Dado un dominio \(\Omega \subset S\) compacto con frontera \(C^{\infty }\), se tiene:
$$
\int _{\Omega }K+\int _{\partial \Omega }k_g=2\pi \chi (\Omega ),
$$
donde \(\chi (\Omega )\) es la característica de Euler de \(\Omega \). Esta fórmula puede extenderse a dominios con frontera \(C^{\infty }\) a trozos, en cuyo caso hay que añadir al miembro de la izquierda la suma de los ángulos externos que describe el vector tangente \(\gamma’\) al pasar por los vértices de \(\gamma =\partial \Omega \).
La fórmula de Gauss Bonnet en esta versión \(C^{\infty }\) a trozos generaliza la propiedad clásica de geometría plana que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es \(\pi \): si el triángulo es esférico, esta suma es superior a \(\pi \) mientras que si el triángulo es hiperbólico, la suma es menor que \(\pi \). En cualquier caso, el exceso o defecto es igual a más o menos el área del triángulo esférico o hiperbólico, ya que la curvatura de Gauss es constante 1 o -1 en esos dos casos. En cualquier caso, es interesante darse cuenta que el miembro de la derecha de la fórmula de Gauss-Bonnet es completamente topológico, mientras que cada sumando de la izquierda por separado depende de la geometría. Este tipo de relaciones «Curvatura-Topología» son muy útiles en geometría.