La cardioide es la curva plana que se obtiene mediante la trayectoria que describe un punto \(\alpha (t)\) sobre una circunferencia que está rodando sin deslizarse de forma tangente sobre el exterior de una segunda circunferencia del mismo radio, siendo esta última fija. El nombre le viene de la forma de corazón que tiene la curva.
Sigue las instrucciones a continuación para describir una parametrización de la cardioide:
- Salvo aplicar una homotecia y una traslación, podemos suponer que ambas circunferencias son de radio 1 y la que está fija está centrada en el origen. Llamaremos \(C(t)=2e^{it}\) al centro de la circunferencia que está rodando y \(Q(t)=e^{it}\) al punto de tangencia entre ambas circunferencias, \(t\in [0,2\pi )\). Prueba que la longitud de la circunferencia que está rodando, desde el punto \(Q(t)\) hasta \(\alpha (t)\), es \(t\).
- Deduce quel apartado 1 que el punto \(\alpha (t)\) se obtiene aplicando un giro de ángulo \(t\) al vector \(Q(t)-C(t)\). Deduce de aquí que \(\alpha (t)=2e^{it}-e^{2it}\), \(t\in [0,2\pi )\).
- Demuestra que la longitud total de la cardioide es 16.
- ¿Es la cardioide una curva regular?
La cardioide es una de muchas curvas planas que fueron descubiertas y estudiadas en el siglo XVIII. Puedes leer más curiosidades sobre la misma aquí.