En esta entrada seguiremos avanzando sobre si es posible definir el área de una superficie mediante aproximación por superficies poliédricas o por otros métodos.
LA PARADOJA DE SCHWARZ.
Durante gran parte del siglo XIX, el concepto de área de una superficie aceptado comúnmente se basaba en aproximaciones poliédricas, atribuído al matemático parisino Serret (1819-1885), famoso por su teoría junto con Frenet del triedro usado para representar curvas en el espacio. A dichas aproximaciones poliédricas no se les exigían convexidad (lo cual es razonable, de igual forma que no se exige convexidad a las aproximaciones poligonales de una curva para calcular su longitud). Pero en 1880, el matemático alemán Schwarz (1843-1921) descubrió que había una deficiencia en esta definición de área, aunque no publicó un contraejemplo hasta 1883. En 1881, Peano también advirtió el problema de la definición y sorprendentemente, encontró el mismo contraejemplo que Schwarz: es posible aproximar un cilindro circular recto por una sucesión de superficies poliédricas que dependen de dos parámetros n y m, de forma que si hacemos tender n,m a infinito de distintas maneras… ¡ obtenemos distintos límites en las áreas de las superficies de la sucesión !
Este pdf explica la paradoja de Schwarz (en inglés). Esta misma paradoja puede encontrarse en una versión para Mathematica, en este enlace.
El problema de la definición de área por aproximaciones sucesivas poliédricas se puede subsanar exigiendo convexidad a las aproximaciones, gracias al siguiente resultado:
Teorema.
Sean \(\Omega _1\subset \Omega _2\) dos dominios convexos y compactos de
\(\mathbb{R}^3\) con fronteras regulares. Entonces,
\(\mbox{Volumen}(\Omega _1)\leq \mbox{Volumen}(\Omega _2)\) y \(\mbox{Area}(\partial \Omega _1) \leq \mbox{Area}(\partial \Omega _2)\).
LA PARADOJA DE LA PINTURA.
Existen otras aproximaciones al concepto de área de una superficie \(S\), igualmente satisfactorias pero que nos indican que hay que cuidar especialmente la clase de superficies para las que se define el área. Una de ellas, basada en la integración de Lebesgue en \(\mathbb{R}^3\) y en el Teorema de Fubini, Consiste en calcular el volumen de un entorno tubular \(S(\varepsilon )\) de radio \(\varepsilon \gt 0\) de la
superficie, definido por
$$
S(\varepsilon )=\{ p+tN_p\ : \ p\in S, |t|\lt \varepsilon \}
$$
(aquí \(N\) es una aplicación de Gauss para \(S\)), dividir dicho volumen por la anchura \(2\varepsilon \) del entorno tubular y tomar \(\varepsilon \) tendiendo a cero:
$$
\mbox{Area}(S)=\lim _{\varepsilon \to 0}\frac{1}{2\varepsilon }\mbox{Volumen}(S(\varepsilon)).
$$
Por supuesto, necesitaremos que tanto \(N\) como Volumen\((S(\varepsilon))\) y el límite anterior existan (todo esto se tiene, por ejemplo, si \(S\) es
una superficie regular compacta). Intuitivamente, la definición anterior «es como» pintar la superficie \(S\) (recubrirla de una capa tridimensional muy fina): la cantidad de pintura empleada para ello aproxima el área de la superficie. Sin embargo, estamos aproximando área por volumen, que son magnitudes de distintos órdenes. Esto y el límite de la definición anterior producen problemas como el siguiente:
Consideremos la superficie \(S\) obtenida el revolucionar alrededor del eje \(z\) de \(\mathbb{R}^3\) la curva \(z = 1/x\), con \(x\in (0,1)\). Puede comprobarse que el área de \(S\) es infinita, pero el volumen de la región que determina por encima del plano \({z=0}\) y por debajo de \(S\) es finito. Es decir, podemos llenar la región completamente con una cantidad finita de pintura, pero si queremos pintar la superficie, ¡ necesitaremos una cantidad infinita de pintura !
Terminaremos recordando la definición de área de una superficie, tal y como la entendemos
actualmente. Vimos en la entrada Jacobiano de una aplicación entre superficies que la definición de la integral de una función \(h\colon S\to \mathbb{R} \) sobre el abierto \(X(U)\) imagen de una parametrización \(X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\) de \(S\) es
$$
\int _{X(U)}h\, dA:=\int _U(h\circ X)\, \| X_u\times X_v\| \, dudv,
$$
Entonces, el área de \(X(U)\) se define como la integral de la función 1, es decir,
$$
\mbox{Area}(X(U))=\int _{X(U)}dA=\int _U\| X_u\times X_v\| \, dudv,
$$
lo cual define el área de \(S\) si la superficie está recubierta por una sola parametrización. Esta última dificultad puede siempre salvarse de diversas formas. Una de ellas es usando particiones de la unidad, un concepto que no veremos aquí. La otra es usar que la integral de Lebesgue no distingue conjuntos de medida nula: el área no distinguirá a \(S\) de un subconjunto suyo siempre que la diferencia sea despreciable desde el punto de vista de la integración de Lebesgue, es decir, cuando dicha diferencia sea de medida nula. Por tanto, el resultado siguiente nos permite definir el área de una superficie:
Teorema.
Dada una superficie regular \(S\subset \mathbb{R}^3\), existe una parametrización \(X\colon U\subset \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3\) de \(S\), tal que \(S-X(U)\) es de medida nula en \(S\).