Hemos visto en clase la interpretación de que un punto de una superficie sea elíptico o hiperbólico, en términos del comportamiento local de la superficie respecto al plano tangente afín en ese punto.
Una superficie \(S\subset \mathbb{R}^3\) se dice un ovaloide si es compacta, conexa y todos sus puntos son elípticos, es decir su curvatura de Gauss es estrictamente positiva. Las esferas y los elipsoides son ejemplos de ovaloides. Demuestra las siguientes propiedades de cualquier ovaloide \(S\):
- La aplicación de Gauss \(N\colon S\to \mathbb{S}^2(1)\) es un difeomorfismo local.
- \(S\) es difeomorfo a una esfera.
Por ser sus puntos elípticos, un ovaloide tiene la propiedad de que siempre cae localmente a un lado del plano tangente afín en cualquiera de sus puntos. Esta idea de convexidad puede demostrarse de forma global, y forma parte del Teorema de Hadamard:
Teorema.
El dominio interior de un ovaloide \(S\) es un abierto convexo de \(\mathbb{R}^3\).
Para ver una demostración de este teorema, consultar el libro «Curvas y superficies» de Sebastián Montiel y Antonio Ros.