Problema 475★★★☆☆
Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$, $E$ y $F$ puntos de las rectas $BC$, $AC$ y $AB$, respectivamente. Si las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ pasan todas por $O$, el circuncentro del triángulo $ABC$, demostrar que
\[\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R},\]
donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita a $ABC$.
Pista. Demuestra que $1-\frac{R}{AD}=\frac{\mathrm{Area}(BOC)}{\mathrm{Area}(ABC)}$ y otras fórmulas similares para $BE$ y $CF$.
PistaSolución 1Solución. Sean $M$ el punto medio del lado $BC$ y $P$ el pie de la altura que pasa por $A$ en el lado $BC$. Como $OM$ y $AP$ son paralelas, tenemos que $APD$ es semejante a $OMD$. De esta forma, se cumple que
\[\frac{AD-R}{AD}=\frac{OD}{AD}=\frac{OM}{AP}=\frac{OM\cdot BC}{AP\cdot BC}=\frac{\mathrm{Area}(BOC)}{\mathrm{Area}(ABC)},\]
donde hemos usado que $OM$ es la alutra del triángulo $BOC$ y la fórmula del área de un triángulo como la mitad de la base por la altura. Repitiendo el mismo argumento para los tres lados del triángulo, se tienen las relaciones
\[\frac{AD-R}{AD}=\frac{\mathrm{Area}(BOC)}{\mathrm{Area}(ABC)},\qquad
\frac{BE-R}{BE}=\frac{\mathrm{Area}(AOC)}{\mathrm{Area}(ABC)},\qquad
\frac{CF-R}{CF}=\frac{\mathrm{Area}(AOB)}{\mathrm{Area}(ABC)}.
\]
Sumando estas tres igualdades llegamos a que
\[3-\frac{R}{AD}-\frac{R}{BE}-\frac{R}{CF}=\frac{\mathrm{Area}(BOC)+\mathrm{Area}(AOC)+\mathrm{Area}(AOB)}{\mathrm{Area}(ABC)}=1,\]
de donde se obtiene claramente la fórmula del enunciado.
Informar InfoOlimpiada Iberoamericana de Matemáticas, 1985 problema 6
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Informar de procedencia del problemaProblema 473★☆☆☆☆
Demostrar que una progresión aritmética infinita de números naturales que contiene un cuadrado contiene realmente infinitos cuadrados.
Pista. Demuestra que si $n^2$ es un cuadrado en la progresión, entonces $(n+d)^2 también es un cuadrado en la progresión.
PistaSolución 1Solución. Supongamos que $n^2$ es un elemento de la sucesión. Llamando $d\in\mathbb{N}$ a su diferencia, todos los términos a partir de $n^2$ serán de la forma $n^2+ad$ con $a\in\mathbb{N}$, por lo que $(n+d)^2=n^2+(2n+d)d$ es otro cuadrado en la sucesión y es mayor que $n^2$. Esto implica claramente que la sucesión contiene infinitos cuadrados.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1963 problema 10
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Informar de procedencia del problemaProblema 472★★☆☆☆
¿Se pueden etiquetar los vértices de un polígono de 45 lados con los dígitos del $0$ al $9$ de forma que no haya dos vértices consecutivos etiquetados con el mismo dígito y tampoco haya dos lados distintos del polígono con los mismos dígitos en sus extremos?
Pista. Observa que hay 45 combinaciones de dos dígitos distintos, luego sólo tienes que ver que alguna de ellas no se puede tomar independientemente de cómo se coloquen los números (es decir, que la respuesta es negativa).
PistaSolución 1Solución. Supongamos que colocamos todos los dígitos del $0$ al $9$ de cualquier forma en los vértices del $45$-góno. Alguno de ellos estará colocado en menos de $5$ vértices ya que hay $10$ dígitos distintos y sólo $45$ vértices. Esto quiere decir que ese dígito $n$ compartirá segmento con otros $8$ dígitos como máximo y, por tanto, existirá otro dígito $m$ de forma que $m$ y $n$ no son los dos extremos de un mismo segmento.
Ahora bien, hay $\binom{10}{2}=45$ posibles combinaciones de dos dígitos distintos y una de ellas no se toma nunca según hemos visto. Deducimos que la respuesta a la pregunta es negativa.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1963 problema 11
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Informar de procedencia del problemaProblema 471★☆☆☆☆
Alrededor de un círculo vamos colocando números de la siguiente manera. En el primer paso, escribimos un 1 en dos puntos diametralmente opuestos; en los pasos siguientes, colocamos entre cada dos números del paso anterior su suma. ¿Cuál es la suma de todos los números en el paso $n$-ésimo?
Pista. ¿Cuánto se añade a la suma en cada paso respecto de lo que había anteriormente?
PistaSolución 1Solución. Al insertar entre cada dos números su suma, a la suma de todos los números le estamos sumando ambos números. Como cada número del paso $n$ aparece en dos sumas nuevas del paso $n+1$, en total habremos sumado todos los números dos veces. Si llamamos $S_n$ a la suma de los números en el paso $n$, tendremos entonces que $S_{n+1}=S_n+2S_n=3S_n$. Ahora bien, en el paso $1$ tenemos que $S_1=1+1=2$, luego se sigue claramente que $S_{n}=2\cdot 3^{n-1}$.
Nota. En realidad, cambiar la cantidad de números iniciales o sus valores sólo afecta a $S_1$, de forma que la fórmula $S_{n}=3^{n-1}S_1$ independientemente de la configuración inicial.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1963 problema 13
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Informar de procedencia del problemaProblema 470★★☆☆☆
Dadas cinco circunferencias, supongamos que cuatro cualesquiera de ellas tienen un punto en común. Demostrar que las cinco tienen un punto en común.
Pista. Tres puntos distintos (no alineados) determinan una circunferencia.
PistaSolución 1Solución. Llamemos $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4,\Gamma_5$ a las circunferencias y supongamos por hipótesis que existen puntos $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ tales que $p_i\in\Gamma_j$ siempre que $j\neq i$. Si dos de estos puntos son iguales, entonces hemos terminado (por ejemplo, si $p_1=p_2$, entonces este punto está en las cinco circunferencias puesto que $p_1$ está en todas menos en $\Gamma_1$, pero $p_2$ sí que está en $\Gamma_1$).
Supongamos entonces que los cinco puntos $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ son distintos. En particular, $p_1,p_2,p_3$ son tres puntos distintos tanto en $\Gamma_4$ como en $\Gamma_5$. Como tres puntos distintos determinan una única circunferencia, deducimos que $\Gamma_4=\Gamma_5$, luego $p_5$ está también en $\Gamma_5$ y, por tanto, es un punto común a todas las circunferencias.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1963 problema 1
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