Problema 469★★☆☆☆
Sean $a_0,a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ números reales tales que $a_0 = a_n = 0$ y $a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}\geq 0$ para $k=0,1,\ldots, n-1$. Demostrar que todos los números son negativos o cero.
Pista. ¿Qué les ocurre a los números anterior y posterior al máximo de todos ellos?
PistaSolución 1Solución. Supongamos que el máximo de todos los números es $a_k$ para cierto índice $k$ distinto de $0$ y $n$ (si el máximo fuera $a_0=0$ o $a_n=0$ no habría nada que demostrar). Entonces,
\[2a_k\leq a_{k-1}+a_{k+1}\leq a_k+a_k=2a_k,\]
ya que $a_k$ es el máximo. Esto nos dice que $a{k-1}=a_k=a_{k+1}$, por lo que el máximo también se alcanza en $a{k-1}$. Repitiendo el argumento, el máximo también se alcanzará en $a_{k-2}$, en $a_{k-3}$,... y así sucesivamente. Por tanto, el máximo también se alcanza en $a_0=0$ y hemos terminado.
Nota. Lo que hemos probado realmente es que el máximo de la sucesión se alcanza estrictamente en $a_0$ y $a_n$ o bien la sucesión es constante cero. Más aún, no es difícil ver a partir de este argumento que si la sucesión no es constante cero, entonces tiene un único mínimo y es estrictamente decreciente hasta el mínimo y luego estrictamente creciente hasta el máximo
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1962 problema 13
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 468★★☆☆☆
Dados tres números enteros distintos $x,y,z\in\mathbb{Z}$, demostrar que $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ es divisible entre $5(x-y)(y-z)(z-x)$.
Pista. Observa que los números $a=x-y$, $b=y-z$ y $c=z-x$ suman cero, luego puedes sustituir $c=-(a+b)$ para transformar $a^5+b^5+c^5$.
PistaSolución 1Solución. Consideremos los enteros $a=x-y$ y $b=y-z$, con lo que $z-x=-a-b$. Así,
\begin{align*}
(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5&=a^5+b^5-(a+b)^5\\
&=-5ab(a^3+2ab+2ab+b^3)\\
&=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2).
\end{align*}
Por tanto, el número dado es múltiplo de $-5ab(a+b)=5(x-y)(y-z)(z-x)$.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1962 problema 12
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 467★☆☆☆☆
Sea $n$ un número natural con $1998$ cifras que es divisible entre $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, $y$ la suma de los dígitos de $x$ y $z$ la suma de los dígitos de $z$. Hallar $z$.
Pista. El resto módulo $9$ no se modifica en la suma. Halla cotas superiores para $x$, $y$ y $z$.
PistaSolución 1Solución. La mayor suma de cifras posible para números de 1998 cifras es que todas sean nueves, con lo cual podemos estimar $x\leq 9\cdot 1998=17982$. El número con mayor suma de cifras menor o igual que $17982$ es $9999$, lo que nos da la estimación $y\leq 9+9+9+9=36$. El número menor o igual que $36$ con mayor suma de cifras es $29$, que nos da $z\leq 2+9=11$. Ahora bien, la divisibildad entre $9$ se mantiene al sumar las cifras, luego $x$, $y$ y $z$ han de ser todos múltiplos de $9$. Esto nos deja con las posibilidades $z=0$ y $z=9$. Como $z=0$ no es posible (sólo sería posible si $n=0$), tenemos que $z=9$.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1962 problema 9
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 466★☆☆☆☆
Dados cuatro números reales positivos $a, b, c, d$ tales que $abcd=1$, probar que
\[a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd\geq 10.\]
Pista. Usa la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.
PistaSolución 1Solución. Si le aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los diez sumandos del miembro de la izquierda, tenemos que
\[\tfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd}{10}\geq\sqrt[10]{a^2b^2c^2abacadbcbdcd}=\sqrt[10]{a^5b^5c^5d^5}=1,\]
de donde deducimos de forma inmediata la desigualdad propuesta.
Nota. Si se alcanza la igualdad, entonces $a^2=b^2=c^2=d^2$, luego $a=b=c=d$ por ser números positivos y, como su producto es $1$, los cuatro números tienen que ser iguales a $1$. Recíprocamente, si los cuatro números son iguales a $1$, la igualdad se alcanza, luego este es la única situación en la que se alcanza.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1962 problema 6
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problemaProblema 465★★☆☆☆
Dado un número impar $n$, escribimos $1$ o $-1$ en cada entrada de una tabla de $n$ filas y $n$ columnas. Demostrar que el número total de filas y columnas que tienen un número impar de entradas iguales a $-1$ no puede ser $n$.
Pista. Cada vez que cambiamos una entrada de signo, el número total de filas y columnas que tienen un número impar de entradas iguales a $-1$ crece o decrece dos unidades.
PistaSolución 1Solución. Al cambiar un $1$ por un $-1$, el número cambia la paridad en exactamente una fila y una columna, luego el número total de filas y columnas que tienen un número impar de entradas iguales a $-1$ crece en dos unidades, decrece en dos unidades o se mantiene igual. Por tanto, si empezamos con todas las entradas iguales a $1$ y cambiamos $1$ por $-1$ en distintas entradas hasta conseguir la configuración deseada, no cambiará la paridad del número total de filas y columnas que tienen un número impar de entradas iguales a $-1$. Como este número es par cuando son todo unos, seguirá siendo par y no puede ser igual a $n$.
Informar InfoAll-Soviet-Union Competition, 1962 problema 5
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de error en enunciadoSi conoces una competición en la que apareció este problema o bien crees que la información que aquí aparece es incorrecta, puedes notificarlo pulsando en el siguiente botón:
Informar de procedencia del problema