Hablaremos sobre nuevos avances relativos a las superficies llanas, completas, embebidas en el espacio hiperbólico tridimensional y con singularidades aisladas. Estudiaremos algunas propiedades topológicas y métricas que nos permitirán conocer mejor la geometría global de este tipo de superficies y nos permitirán caracterizar la realización de tales métricas en el hiperbólico.