Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Lección 6. Ecuaciones funcionales

Una ecuación es, por definición, una igualdad entre expresiones algebraicas donde aparecen una o más variables, llamadas incógnitas. Resolver la ecuación es encontrar todos los posibles valores de las incógnitas para los que la igualdad es cierta (a tales valores se les llama soluciones). Por ejemplo, la ecuación $x+e^x=1$ tiene una solución real, la ecuación $\cos(2x)=0$ tiene infinitas soluciones reales y la ecuación $e^x+e^y=0$ no tiene ninguna (¿sabrías demostrar por qué? ¿Sabrías hallarlas?).

Por ejemplo, podemos preguntarnos qué funciones $f$ cumplen la igualdad \[f(x+1)=f(x)+1\] para todo valor de $x$. La incógnita en esta ecuación funcional no es $x$ sino $f$. Una solución es elegir $f(x)=x$ para todo número natural $x\in\mathbb N$. Esto nos dice que $$f(x+1)=x+1,\qquad f(x)+1=x+1,$$ luego esta elección de $f$ cumple la igualdad propuesta. Si ahora pensamos que la variable $x$ no es un número natural sino real, entonces otra solución es la función parte entera $f(x)=\lfloor x\rfloor$, ya que se cumple que $\lfloor x+1\rfloor=\lfloor x\rfloor +1$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Es muy importante a la hora de resolver una ecuación funcional, entender el concepto de función y su dominio, así como entender qué significan las variables que aparecen en una ecuación funcional. Estos serán los objetivos de esta lección.

¿Qué es una función?

Solemos pensamos en las funciones como en fórmulas ya que muchas veces trabajamos con tales fórmulas en la práctica. Por ejemplo, podemos decir que la fórmula \[\frac{\cos^3(x)-2\sqrt{\ln(x^2+1)+2}}{\mathrm{tg}(x-e^x)+8\pi(x^2-1)}\] es una función en la variable real $x$ y hacer cálculos con ella hallando límites, derivadas, integrales, etc. Sin embargo, muchas funciones importantes en matemáticas no están dadas por una fórmula, como por ejemplo la función de Euler $\varphi(n)$, que indica la cantidad de números naturales entre $1$ y $n$ que son primos relativos con $n$ (es decir, no tiene factores comunes). Podemos calcular fácilmente su valor: \begin{array}{c|ccccccccccc} n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&\cdots\\\hline \varphi(n)&1&1&2&2&4&2&6&5&6&4&\cdots \end{array} pero si buscamos una fórmula para $\varphi(n)$ usando funciones elementales (polinomios, potencias y raices, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas directas o inversas,...), probablemente no la encontraremos. Aun así, $\varphi$ es una función ya que para cada valor de $n$, el valor de $\varphi(n)$ está bien determinado. Dicho de otra forma, $\varphi$ le asigna a cada elemento del conjunto $\mathbb N$ un único elemento del conjunto $\mathbb N$.

Por tanto, la función de Euler es una función $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$. Esto no quiere decir que todos los números del codominio tengan que estar asignados (por ejemplo, no existe ningún natural $n$ tal que $\varphi(n)=3$... ¿sabrías demostrar por qué?) ni que a dos números distintos del dominio se les tenga que asignar números distintos (por ejemplo, tenemos que $\varphi(5)=\varphi(10)=4$). La única regla es que asignamos un único número a cada número del dominio. Vamos a reformular estas propiedades en términos más precisos.

Ahora podemos decir que la función de Euler no es sobreyectiva ni inyectiva. Saber si una función es sobreyectiva o inyectiva suele dar información muy útil para resolver ecuaciones funcionales y lo analizaremos en una lección posterior.

Por otro lado, es muy importante identificar bien el dominio y el codominio de las funciones. Por ejemplo, tomemos la función $f:\mathbb Q\to\mathbb R$ dada por $f(x)=x^2+1$, cuyo dominio son los números racionales y codominio los reales. El valor las expresiones $f(\sqrt{2})$ y $f(\pi)$ no se puede hallar con la fórmula $x^2+1$ ni con otra y tampoco es que sea desconocido o indeterminado... ¡es que no está siquiera definido! Por tanto, jamás debemos evaluar una función en valores fuera de su dominio.

Para todo

Las ecuaciones funcionales suelen venir dadas por expresiones en las que cierta igualdad se cumple para todo valor de cierto conjunto. Entender esto es también fundamental para su resolución. Veamos dos ejemplos distintos, que explicaremos detalladamente.

En primer lugar, fíjate en el ejercicio resuelto de más abajo. El dominio y el codominio de las funciones que buscamos son todos los números reales. Ahora bien, la igualdad $f(x)+2f(-x)=(1+x)^2$ se cumple para cualquier valor de $x$, lo que nos permite sustituir $x$ por un número real cualquiera. Por ejemplo, si sustituimos $x=0$, obtenemos la igualdad $f(0)+2f(0)=1$, que nos dice que $f(0)=\frac{1}{3}$. Dicho de otro modo, toda función $f$ que cumpla la ecuación tendrá que cumplir que $f(0)=\frac{1}{3}$. No obstante, también podemos sustituir $x$ por otras expresiones que representen números reales, como puede ser $-x$, $f(x)$, $\sqrt{1+x^2+y^2}$, siendo $y$ otra variable real,... Lo importante es que al sustituir, lo hagamos en todos los sitios donde aparezca $x$.

El paso final en la solución anterior es muy importante para resolver una ecuación funcional: cuando obtenemos las soluciones, es necesario comprobar que se trata efectivamente de soluciones. Esto es lo mismo que pasa en ecuaciones numéricas y, en el caso de las olimpiadas, suelen perderse puntos por no comprobar.

Lee ahora el segundo problema resuelto (que se encuentra más abajo), pero antes de intentarlo vamos a explorar el enunciado. En primer lugar, el dominio y el codominio son los números naturales $\mathbb{N}$, no los reales. Por tanto, en ningún momento pueden aparecer expresiones del tipo $f(\frac{1}{2})$ o $f(\sqrt{2})$ en nuestros razonamientos. Más aún, llegar a conclusiones como $f(...)=\frac{3}{2}$ es claramente una contradicción ya que no es un número natural. Vamos a fijarnos ahora en la expresión para todo: esta quiere decir que podemos sustituir $n$ por cualquier número natural. En otras palabras, podemos sustituirlo por $1,2,3,4,...$, pero también por otra fórmula que involucre a $n$, a otras variables o incluso a la propia $f$ y otras funciones, siempre que garanticemos que esa expresión sea un número natural. Por ejemplo, podemos hacer la sustitución $n\mapsto a^2+b^2$ siendo $a$ y $b$ números naturales, o la sustitución $n\mapsto f(n)$ ya que $f(n)$ es un número natural, pero no podemos sustituir $n\mapsto\sqrt{n^2+3n+7}$. Esto se debe a que $\sqrt{n^2+3n+7}$ no es un número natural para la mayoría de valores de $n\in\mathbb N$ (¿sabrías hallar para cuáles sí es un natural?).

Aquí volvemos a ver que es importante comprobar que los candidatos a soluciones son realmente soluciones (en este caso no lo eran).

Las ecuaciones funcionales son sistemas de ecuaciones

Encontrar una función $f:X\to Y$ es lo mismo que encontrar los valores de $f(x)$ para todos los elementos $x\in X$. Los dominios de funciones que suelen aparecer en las ecuaciones funcionales suelen ser infinitos ($\mathbb N$, $\mathbb Q$, $\mathbb{R}$ o subconjuntos suyos), así que una ecuación funcional es como un sistema de ecuaciones con infinitas incógnitas. Por ejemplo, si tenemos la ecuación $f(n+1)=f(n)+a$ sobre los naturales, entonces tenemos infnitas incógnitas \[f(1),\quad f(2),\quad f(3),\quad f(4),\ldots \] y también infinitas ecuaciones: \[f(2)=f(1)+a,\quad f(3)=f(2)+a,\quad f(4)=f(3)+a,\ldots,\] una para cada valor de $n$ que podamos sustituir. Lo usual es que las infinitas ecuaciones sean suficientes para resolver las infinitas incógnitas.