Olimpiadas de Matemáticas
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Lección 0. Igualdades, desigualdades y cuadrados
Las desigualdades son una herramienta fundamental para trabajar con números reales. Podemos pensar que una fórmula con una igualdad es algo mucho mejor que una fórmula con una desigualdad y, obviamente, esto es cierto. Sin embargo, muchas veces no podemos tener una igualdad y la razón puede ser porque la igualdad no sea cierta, o bien porque sea suficiente conocer una desigualdad, o incluso porque demostrar la igualdad es más difícil que demostrar una desigualdad y podemos apañarnos sin ella.
Los símbolos fundamentales que vamos a manejar son los siguientes: \[\begin{array}{cl} =&\text{igual}\\ \lt&\text{menor que}\\ \gt&\text{mayor que}\\ \leq&\text{menor o igual que}\\ \geq&\text{mayor o igual que} \end{array}\] No necesitan explicación pero una interpretación interesante es que, cuando representamos dos números en la recta real, uno es menor que otro si está a la izquierda de éste. Veamos algunas propiedades muy sencillas, válidas para cualesquiera números $a,b,c\in\mathbb{R}$:
- Si $a\leq b$ y $b\leq a$, entonces $a=b$
- Si $a\leq b$ y $b\leq c$, entonces $a\leq c$.
- Si no se cumple que $a\leq b$, entonces $a\gt b$.
Dejamos como ejercicio pensar qué ocurre si cambiamos los signos en las propiedades anteriores por otros distintos.
Desigualdades y operaciones
Recordemos ahora cómo se comportan las desigualdades frente a la suma y el producto de números reales, así como respecto de los opuestos e inversos. Son propiedades que se usan continuamente cuando se trabaja con desigualdades por lo que conviene enumerarlas.
- Dados $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tales que $a\leq b$ y $c\leq d$, entonces se cumple que $a+c\leq b+d$ y la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b$ y $c=d$.
- Sean $a,b\in\mathbb{R}$ y $\lambda\in\mathbb{R}$ tales que $a\leq b$.
- Si $\lambda\geq 0$, entonces $\lambda a\leq\lambda b$.
- Si $\lambda\leq 0$, entonces $\lambda a\geq\lambda b$.
- Sean $a,b\in\mathbb{R}$ distintos de cero.
- Si $a\geq b\gt 0$, entonces $0\lt \frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}$.
- Si $a\leq b\lt 0$, entonces $\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}\lt 0$.
- Si $a\lt 0\lt b$, entonces $\frac{1}{a}\lt 0\lt\frac{1}{b}$.
Por decirlo de otra forma: las sumas y los opuestos respetan las desigualdades mientras los productos y los inversos únicamente cuando los signos sean los adecuados. Algunos ejemplos que ilustran esta situación son los siguientes:
\[2\lt 3\ \Rightarrow\ \frac{1}{3}\lt\frac{1}{2},\hspace{.5cm}-5\lt-1\Rightarrow 1\lt 5\Rightarrow\frac{1}{5}\lt 1,\hspace{.5cm}0\leq x\lt y\Rightarrow 0\leq 2x\lt 2y\]Un caso especial de desigualdad es cuando el número cero está involucrado. Como todos sabemos, un número real $a$ que cumple que $a<0$ se dice que es negativo y, si cumple que $a>0$, que es positivo. Pero el cero, ¿es positivo o negativo? Aquí diremos que el cero no es negativo ni positivo (ojo, esto es un convenio, un nombre). También se usarán las expresiones $a$ es no negativo cuando queremos expresar que $a\geq 0$ y $a$ es no positivo cuando $a\leq 0$. Algunas propiedades son las siguientes:
- La suma de dos números positivo es positiva. La suma de dos números negativos es negativa. La suma de un número positivo y otro negativo puede ser positiva, negativa o cero.
- El producto de dos números positivos es positivo. El producto de dos números negativos es también positivo. El producto de un número positivo y otro negativo es negativo.
- El opuesto de un número intercambia positivos y negativos. El inverso de un número conserva positivos y negativos.
Desigualdades y cuadrados
Una consencuencia mucho más interesante y cuya utilidad puede despreciarse en un principio es que un número al cuadrado nunca es negativo.
Veamos algunos casos resueltos donde se muestra la utilidad de este método.
En muchas ocasiones, es útil saber cuándo la desigualdad con la que estamos trabajando o queremos demostrar es realmente una igualdad. Por ejemplo, siempre se cumple que $(x-1)^2\geq0$ pero el único valor de $x$ para el que $(x-1)^2=0$ es $x=1$ y, para cualquier otro $x\neq1$, se tiene que $(x-1)^2\gt 0$.
Como ya hemos dicho antes, la suma de los cuadrados de una serie de números es mayor o igual que cero. Ahora añadimos que dicha suma es igual a cero si, y sólo si, todos los números son cero. Esto permite analizar en los problemas anteriores cuándo se tiene una igualdad: en el primero cuando $x=3$ ya que la única desigualdad que hemos usado es que $(x-3)^2\geq 0$; en el segundo, la igualdad se tiene cuando $\sqrt x-\sqrt y=0$, es decir, cuando $x=y$. En la tercera, la igualdad se tiene cuando $x-y=0$, $y-z=0$ y $x-z=0$, es decir, cuando $x=y=z$. Finalmente, en el último ejemplo la igualdad se tiene cuando $x=1$ ya que hemos usado que $(x-1)^2\geq 0$.
Finalmente, observemos que si tenemos que usar varias desigualdades consecutivas para probar otra, la igualdad en esta última se tendrá cuando tengamos igualdad en todas las que hemos usado. Por ejemplo, si tenemos que $a\leq b\leq c\leq d$, cuando se cumpla $a=d$, tendremos que $a=b=c=d$. Veamos un ejemplo muy detallado de esta situación.