Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Lección 1. La desigualdad de Cauchy-Schwarz

En esta sección vamos a estudiar una desigualdad muy útil a la hora de probar otras desigualdades. Si tenemos números reales $x_1,x_2,y_1,y_2\in\mathbb{R}$, observemos que \begin{eqnarray*} (x_1y_2-x_2y_1)^2\geq0&\Leftrightarrow&x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2\geq 0\\ &\Leftrightarrow & x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2\geq 2x_1x_2y_1y_2\\ &\Leftrightarrow & x_1^2y_1^2+x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2+x_2^2y_2^2\geq x_1^2y_1^2+2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_2^2\\ &\Leftrightarrow & (x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)\geq(x_1y_1+x_2y_2)^2 \end{eqnarray*} Por tanto, en esta desigualdad, la igualdad se alcanza cuando $x_1y_2-x_2y_1=0$. Si analizamos más detenidamente esta última condición, deducimos lo siguiente:

• si $x_1=x_2=0$, entonces claramente la igualdad $x_1y_2-x_2y_1=0$ se cumple;
• si $x_1\neq 0$ y tomamos $\lambda=\frac{y_1}{x_1}$, entonces $y_1=\lambda x_1$ e $y_2=\frac{y_1}{x_1}x_2=\lambda x_2$
• si $x_2\neq 0$ y tomamos $\lambda=\frac{y_2}{x_2}$, entonces $y_1=\frac{y_2}{x_2}x_1=\lambda x_1$ e $y_2=\lambda x_2$.

En resumen, si $x_1\neq 0$ ó $x_2\neq 0$, la condición $x_1y_2-x_2y_1=0$ equivale a que existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $x_1=\lambda y_1$ y $x_2=\lambda y_2$. A la vista de esto, vamos a enunciar una desigualdad más general.

Se deja como ejercicio para quienes se atrevan algunas ideas para la demostración general. Por otro lado, al final indicaremos una forma alternativa de enfocar esta desigualdad con vectores.

Veamos ahora algunos ejemplos donde puede aplicarse esta desigualdad. Observemos que para aplicarla, siemplemente es necesario sustituir los números $x_1,\ldots, x_n$ e $y_1,\ldots,y_n$ por otras expresiones y no hay restricción alguna ya que éstos pueden ser cualesquiera números reales.

Una versión vectorial de la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Si los números $x_1,\ldots,x_n$ y los números $y_1,\ldots,y_n$ los escribimos como vectores de $\mathbb{R}^n$, es decir, \begin{eqnarray*} x&=&(x_1,x_2,\ldots,x_n),\\ y&=&(y_1,y_2,\ldots,y_n). \end{eqnarray*} entonces el miembro de la izquierda de la desigualdad de Cauchy-Schwarz no es otra cosa que el cuadrado del producto escalar $x\cdot y$ de estos dos vectores (recordemos que el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de las componentes correspondientes) y el miembro de la derecha tiene dos factores: uno de ellos el módulo del vector $x$ al cuadrado y el otro el módulo del vector $y$ al cuadrado. Si denotamos por $|x|$ e $|y|$ a estos módulos, podemos escribir la desigualdad como \[(x\cdot y)^2\leq|x|^2\cdot|y|^2.\] El módulo de un vector siempre es mayor o igual que cero (es cero sólo cuando el vector tiene todas sus componentes cero) pero el producto escalar no tiene porqué luego, si quitáramos los cuadrados de esas expresiones seguiría siendo cierta la desigualdad, pero habríamos perdido información. Una forma de arreglar esto es escribir \[|x\cdot y|\leq|x|\cdot|y|\] (observa que el miembro de la izquierda no es un módulo sino un valor absoluto). Dicho de otra forma, el producto escalar de dos vectores no supera nunca el producto de sus módulos.

La igualdad se alcanza cuando los dos vectores son proporcionales o linealmente dependientes.