Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Lección 2. Las desigualdades de las medias

En esta sección, vamos a introducir una familia más grande de desigualdades que pueden aplicarse en multitud de ocasiones para resolver problemas. Conocer estas desigualdades suele ser útil para tratar con desigualdades en las que aparecen potencias o raíces como veremos a continuación.

¿Qué es una media?

Seguramente sabrás cómo se calcula la media aritmética de una cierta cantidad de datos (se suman todos y se divide por el número de datos). Este concepto se usa para obtener un solo valor que represente los datos que nos han dado. Por ejemplo, si en tres exámenes que has hecho has sacado puntuaciones de $7$, $5$ y $6$ es como si hubieras sacado un $6$ en los tres pues puedes pasar un punto del $7$ al $5$. Aquí vamos a ver otras formas de calcular medias y a interpretar un poco qué significan. Sin embargo, sea cual sea la media que hagamos, tendrá que cumplir algunas propiedades razonables: por ejemplo, si alguien saca mejores notas en los exámenes que otro, también tendrá que tener mejor media, ¿no? Más explícitamente, la media $M$ de ciertos números $x_1,x_2,\ldots,x_n$ tendrá que cumplir las siguientes condiciones:

• $M$ estará comprendida entre el valor mínimo y el máximo de los $x_i$.
• Si $M'$ es la media de otros números $y_1,\ldots,y_n$ y se cumple que $x_i\leq y_i$ para todo $i$, entonces $M\leq M'$.
• Si todos los números $x_i$ son iguales entonces la media $M$ también es igual a este número.

El primer ejemplo de media es la media aritmética: si tenemos $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\mathbb R$, su media aritmética no es otra cosa que \[M_1=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}.\] Otra forma de hacer una media es lo que se conoce como media cuadrática: \[M_2=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}{n}}.\] Puedes comprobar que cumple las condiciones para ser una media que hemos puesto arriba pero, ¿por qué esta fórmula? Fíjate que es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los números. Si sólo hacemos la media de los cuadrados, obtendremos un número que será un valor intermedio a los cuadrados luego para que sea del orden de los números originales, tomamos la raíz cuadrada.Esto nos permite definir más medias como \[M_a=\sqrt[a]{\frac{x_1^a+x_2^a+\ldots+x_n^a}{n}}\] y siempre obtendremos medias. Para $a=3$ y $a=4$, se llaman medias cúbica y cuártica, pero puede calcularse para cualquier número natural $a$ (la raíz siempre se puede hacer puesto que el radicando es positivo para $a$ par), pero también se puede calcular para cualquier número $a\neq 0$ siempre que los números $x_1,\ldots,x_n$ sean positivos. Para $a=-1$ obtenemos la media armónica \[M_{-1}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}.\]

La filosofía es elevar a una potencia, hacer la media aritmética y después tomar la raíz del mismo índice, es decir, hacer y deshacer la operación potencia. Finalmente, definimos la media geométrica de los números (positivos) $x_1,\ldots,x_n$ como \[M_0=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}.\] Es como la media aritmética pero sustituyendo sumas por productos y cociente por raíz. Ahora tenemos definida una media $M_a$ para cualquier número real $a$. Antes de seguir, deberías pensar por qué todas estas funciones son medias, aunque tienes que recordar de aquí en adelante que siempre vamos a suponer que los números a los que calculamos la media son positivos.

Visto eso, veamos qué interpretación tienen las medias y para eso supongamos que en $5$ exámenes has obtenido las puntuaciones $2$, $5$, $6$, $8$ y $9$. Entonces, redondeando con dos decimales, puedes calcular las siguientes medias de estas notas: \begin{eqnarray*} M_{-5}&=&2.75\\ M_{-1}&=&4.53\\ M_0&=&5.33\\ M_1&=&6\\ M_2&=&6.48\\ M_5&=&7.28 \end{eqnarray*} ¿Qué ocurre? La media aritmética es $6$ pero según vamos bajando el orden de la media que usamos el resultado también baja y, si subimos, entonces sube. Aunque no vamos a entrar en más detalle, lo que pasa a grosso modo es lo siguiente:

• Para $a>1$, la media $M_a$ le da más peso a las notas altas. Por ejemplo, esta media valora más a un alumno que haya sacado un $8$ y un $10$ que a uno que ha sacado dos veces $9$. Un profesor puede usarla para valorar que sacar un $10$ es más difícil que sacar un $9$. La media cuadrática se ha usado muchas veces en competiciones matemáticas para desempatar a participantes que han obtenido la misma puntuación (media aritmética).
• Para $a<1$, la media $M_a$ le da más peso a las notas bajas. Por ejemplo, en la situación en que un alumno ha sacado un $8$ y un $10$ mientras que otro ha sacado dos veces $9$, le da ventaja al de los dos $9$ porque el $8$ perjudica al primer alumno. Este tipo de medias puede usarse para valorar la constancia.
• Cuando $a$ se hace muy pequeño, es decir, se acerca a $-\infty$, el valor de $M_a$ se acerca al número más pequeño. De la misma forma, cuando $a$ se acerca a $+\infty$, la media se acerca al número más grande.

La ordenación de las medias

Resumiendo la información anterior, tenemos el siguiente enunciado.

La demostración general de este resultado la veremos cuando estudiemos la desigualdad de Jensen más adelante. Y también veremos otra demostración de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica cuando veamos la desigualdad de reordenación. Por ahora, dejamos como ejercicio probar alguna de estas desigualdades con lo que ya sabemos.

En lo que queda de esta sección, vamos a ver ejemplos de cómo utilizar estas desigualdades. En primer lugar, la media geométrica suele ser útil en desigualdades que involucren el producto de más de dos números.

La desigualdad entre las medias aritmética y armónica nos dice que si multiplicamos una suma de $n$ números positivos por la suma de los inversos, entonces obtenemos al menos $n^2$ y es con eso con lo que tenemos que quedarnos: \[(a_1+a_2+\ldots+a_n)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}\right)\geq n^2{.}\]