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Desigualdades (nivel 1)

Lección 3. Manipulando desigualdades I: reordenación

Si has seguido las lecciones anteriores, tendrás ya algunas ideas para atacar desigualdades, aunque la mayoría de ellas consisten en aplicar desigualdades conocidas a ciertas cantidades y hacer operaciones. Ahora vamos a ver algunas técnicas más para transformar algunas desigualdades en otras que posiblemente sean más sencillas.

Reordenando términos

Imagina que has ganado un concurso y el premio consiste en 6 regalos. Sin embargo, hay tres tipos de regalos: unos valorados en 100€, otros valorados en 200€ y otros valorados en 500€, y, de los seis regalos, se te permite escoger tres de un valor, dos de otro valor y el último del tercer valor. ¿Cómo hacer para maximizar el valor del premio? Bueno, todo el mundo sabe que lo ideal es coger tres regalos de 500€, dos de 200€ y el último de 100€. Es decir, el máximo número posible de los regalos de más valor, después el máximo número posible de los del segundo mejor valor, y así sucesivamente. Esta es la idea que subyace en la desigualdad de reordenación.

Desigualdad de reordenación Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ y $b_1,b_2,\ldots,b_n$ números reales tales que \begin{eqnarray*} a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n{,}\\ b_1\leq b_2\leq\cdots\leq b_n{.} \end{eqnarray*} Consideremos todas las sumas de la forma \[a_1b_{i_1}+a_2b_{i_2}+\ldots a_nb_{i_n}{,}\] donde $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$ es una reordenación de los números $(1,2,\ldots,n)$. Entonces, la suma máxima se alcanza para $(i_1,i_2,\ldots,i_n)=(1,2,\ldots,n)$ y la suma mínima para $(i_1,i_2,\ldots,i_n)=(n,n-1,\ldots,1)$.

En otras palabras, la desigualdad de reordenación nos dice que la suma es máxima cuando emparejamos el mayor con el mayor, el segundo mayor con el segundo mayor, y así sucesivamente. La suma es mínima cuando emparejamos el mayor con el menor, el segundo mayor con el segundo menor, etc. Antes de pasar a ver algunos ejemplos, vamos a hacer algunas observaciones importantes:

  • En las desigualdades que hemos tratado hasta ahora, esta es la primera en que tenemos que comprobar que los números a los que se la aplicamos están en cierto orden, es decir, no podemos reordenar todo lo que queramos y como queramos.
  • Hay un caso en el que la ordenación de las variables es de regalo: cuando la desigualdad es simétrica, es decir, al permutar las variables la expresión no cambia. Aunque trataremos más adelante con desigualdades simétricas, conviene saber ahora que si una expresión es simétrica en sus variables, podemos suponer que éstas tienen el orden que queramos. Por ejemplo, para analizar la expresión \[\frac{\sqrt[3]{\ln(1+x^2)+\ln(1+y^2)}}{5-\cos(x)\cos(y)}+\frac{\sqrt[3]{\ln(1+y^2)+\ln(1+z^2)}}{5-\cos(y)\cos(z)}+\frac{\sqrt[3]{\ln(1+x^2)+\ln(1+z^2)}}{5-\cos(x)\cos(z)}\] podemos cambiar $x$ por $y$, $y$ por $z$ ó $x$ por $z$ las veces que queramos que la expresión no cambiará. Por tanto, podemos hacer los cambios que queramos para suponer que $x\leq y\leq z$. Puede que esto nos sirva o no, pero es otra herramienta a nuestra disposición.
Ejercicio propuesto Supongamos que $x,y,z$ son tres números reales tales que $0\lt x\leq y\leq z$. Demostrar las siguientes desigualdades:
  1. $x^a\leq y^a\leq z^a$ para cualquier $a\geq 0$.
  2. $z^a\leq y^a\leq x^a$ para cualquier $a\leq 0$.
  3. $xy\leq yz\leq xz$.
  4. $x+y\leq y+z\leq x+z$.

Vamos a ver ahora algunos ejemplos en los que aplicar estas ideas (hay que decir que no siempre es fácil usar la desigualdad de reordenación, pero cuando se usa resulta ser muy útil).

Ejercicio resuelto Demostrar las siguientes desigualdades:
  1. $xy+yz+xz\leq x^2+y^2+z^2$ para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$.
  2. $x^2y+y^2z+z^2x\leq x^3+y^3+z^3$ para cualesquiera $x,y,z\gt 0$.
  3. $xyz^2+yzx^2+xzy^2\leq x^4+y^4+z^4$ para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$.
Solución
La primera desigualdad ya la habíamos demostrado usando que $(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\geq 0$, pero vamos a ver cómo hacerlo usando reordenación. Podemos suponer que $x\leq y\leq z$ sin perder generalidad, luego aplicando la desigualdad para $a_1=b_1=x$, $a_2=b_2=y$, $a_3=b_3=z$, tenemos que \[xy+yz+xz=a_1b_2+a_2b_3+a_3b_1\leq a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=x^2+y^2+z^2.\] Para la segunda desigualdad, ya no podemos suponer que las variables están en el orden que queramos porque no hay simetría, pero da igual porque los cuadrados están en el mismo orden que los números (es importante que sean positivos). Por tanto, \[x^2y+y^2z+z^2x\leq x^2\cdot x+y^2\cdot y+z^2\cdot z=x^3+y^3+z^3.\] Para la tercera desigualdad, tampoco hay simetría, pero observa que podemos escribir el miembro de la izquierda como $(xz)(yz)+(xy)(xz)+(xy)(yz)$. Aplicando el primer apartado a los números $xy$, $yz$ y $xz$, y después a los números $x^2$, $y^2$ y $z^2$, obtenemos que \[xyz^2+yzx^2+xzy^2\leq x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2\leq x^4+y^4+z^4{.}\]
Ejercicio resuelto Demostrar que para cualesquiera $x,y,z\gt 0$, se cumple que \[\frac{x(y+z-2x)}{y^2+z^2}+\frac{y(x+z-2y)}{x^2+z^2}+\frac{z(x+y-2z)}{x^2+y^2}\leq 0.\]
Solución
Como la expresión del enunciado es simétrica, podemos suponer que $0\lt x\leq y\leq z$. Entonces, se cumple que \[\frac{x}{y^2+z^2}\leq\frac{y}{x^2+z^2}\leq\frac{z}{x^2+y^2}.\] Escribamos ahora la desigualdad del enunciado como $E_1+E_2\leq 2E_3$, donde \begin{eqnarray*} E_1&=&y\cdot\frac{x}{y^2+z^2}+z\cdot\frac{y}{x^2+z^2}+x\cdot\frac{z}{x^2+y^2}{,}\\ E_2&=&z\cdot\frac{x}{y^2+z^2}+x\cdot\frac{y}{x^2+z^2}+y\cdot\frac{z}{x^2+y^2}{,}\\ E_3&=&x\cdot\frac{x}{y^2+z^2}+y\cdot\frac{y}{x^2+z^2}+z\cdot\frac{z}{x^2+y^2} \end{eqnarray*} La desigualdad de reordenación nos dice ahora que $E_1\leq E_3$ y $E_2\leq E_3$, de donde obtenemos la desigualdad buscada.

Demostración de la desigualdad de reordenación

En realidad, la demostración de la desigualdad es muy sencilla. Para verlo, vamos a comenzar viendo lo que ocurre para $n=2$, es decir, tendremos $a_1\leq a_2$ y $b_1\leq b_2$ y queremos probar que \[a_1b_2+a_2b_1\leq a_1b_1+a_2b_2\] (observa que con $n=2$ sólo hay dos ordenaciones posibles). Si pasamos todo al segundo miembro, la desigualdad es equivalente a \[0\leq a_1b_1+a_2b_2-a_1b_2-a_2b_1=(a_2-a_1)(b_2-b_1),\] que obviamente es cierta porque $a_2-a_1\geq 0$ y $b_2-b_1\geq 0$.

¿Cómo puede ayudarnos esto al caso general? Bueno, si tenemos $n\gt 2$, entonces podemos ir cambiando los números de dos en dos. Sería bueno que te convencieras de esto, aunque aquí vamos a ver un ejemplo concreto: dados $a_1\leq a_2\leq a_3$ y $b_1\leq b_2\leq b_3$, probemos que \[a_1b_3+a_2b_1+a_3b_2\leq a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3{,}\] para lo que usamos el caso $n=2$ con el primer y el segundo sumando y luego con el segundo y el tercero: \[a_1b_3+a_2b_1+a_3b_2\leq a_1b_1+a_2b_3+a_3b_2\leq a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3{,}\] En otras palabras, nos llevamos primero el mayor con el mayor, luego el segundo mayor con el segundo mayor y así sucesivamente. Intenta entender por qué esto se puede hacer siempre.

Desigualdad entre las medias aritmética y geométrica

Aunque ya veremos otra demostración de este resultado, vamos a utilizar la desigualdad de reordenación para demostrar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica de un conjunto de números $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$, es decir, para demostrar que \[\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}{.}\] Para eso, vamos a considerar los números auxiliares \[y_1=\frac{x_1}{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}},\quad y_2=\frac{x_2}{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}},\ldots\quad y_n=\frac{x_n}{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}}{,}\] que cumplen que $y_1y_2\cdots y_n=1$. Entonces, vamos a escribir \[y_1=\frac{a_1}{1},\quad y_2=\frac{a_2}{a_1},\quad y_3=\frac{a_3}{a_2},\ldots\quad y_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}}{.}\] para ciertos números positivos $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ (esto puede hacerse siempre por ser $y_1,y_2,\ldots,y_{n-1}$ positivos). Ahora bien, como $y_1y_2\cdots y_n=1$, tendremos que \[y_n=\frac{1}{y_1y_2\cdots y_{n-1}}=\frac{1\cdot a_1\cdot a_2\cdots a_{n-2}}{a_1\cdot a_2\cdots a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n-1}}{.}\] Aplicando la desigualdad de reordenación a $\{1,a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}\}$ y a sus inversos (que están ordenados en orden opuesto), tenemos que \[y_1+y_2+\ldots+y_n=\frac{1}{a_1}+\frac{a_1}{a_2}+\ldots+\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}+\frac{a_{n-1}}{1}\geq\frac{1}{1}+\frac{a_1}{a_1}+\ldots+\frac{a_{n-1}}{a_{n-1}}=n.\] Finalmente, tenemos que \[n\leq y_1+y_2+\ldots+y_n=\frac{x_1+x_2+\ldots+ x_n}{\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}}{,}\] de donde deducimos la desigualdad buscada.

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