Problemas de Matemáticas

Elige un tema

La base de datos contiene 18 ficheros de apuntes.

Desigualdades (nivel 1)

Lección 4. Manipulando desigualdades II: cambios de variable

Una técnica que en general es muy fructífera en matemáticas es el cambio de variables. Muchas veces reescribir un problema en otros términos hace que veamos la situación desde una nueva óptica que puede clarificar el razonamiento y darnos alguna pista para seguir. Aquí aplicaremos esta idea para resolver desigualdades.

Ejercicio resuelto Dados tres números $a,b,c>0$, demostrar que \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}\quad\text{(Desigualdad de Nesbitt)},\] y que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $a=b=c$.

Solución

Consideremos los tres números positivos $x=b+c$, $y=a+c$, $z=a+b$. Podemos despejar $a$, $b$ y $c$ en términos de $x$, $y$ y $z$ resolviendo el sistema como \[a=\frac{1}{2}(-x+y+z),\quad b=\frac{1}{2}(x-y+z),\quad c=\frac{1}{2}(x+y-z).\] Sustituyendo estos valores llegamos a que \begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}&=&\frac{-x+y+z}{2x}+\frac{x-y+z}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\\ &=&\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\right]-\frac{3}{2} \end{eqnarray*} Como la suma de un número positivo más su inverso es siempre mayor o igual que $2$, llegamos a que la expresión del enunciado es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ como queríamos probar.

Lo que hemos hecho en el ejercicio anterior es invocar unas nuevas variables $x,y,z$ para expresar la desigualdad en términos de las mismas y hemos visto que se simplifica bastante (hemos usado una técnica que suele funcionar algunas veces: sustituir según el valor de los denominadores). En realidad, hay dos formas distintas de enfocar el cambio de variables:

La primera forma es, como hemos hecho en el ejercicio resuelto, definir nuevas variables. Es importante ver que las expresión original pueda escribirse sólo en términos de las nuevas variables y saber dónde se mueven estas últimas.
Otra forma es, directamente, sustituir las variables originales por expresiones que dependen de nuevas variables. En este caso, es importante saber que cuando las nuevas variables toman todos los valores posibles, las nuevas también lo hacen, es decir, se barre todo el dominio de las variables originales.

Ahora vamos a centrarnos en casos concretos.

Cambios lineales

Supongamos que tenemos una expresión que depende de tres variables $a,b,c$. Entonces, podemos hacer un cambio lineal, es decir, definir nuevas variables $a,b,c$ como combinación lineal de estas: \begin{eqnarray*} x&=&h_{11}a+h_{12}b+h_{13}c,\\ y&=&h_{21}a+h_{22}b+h_{23}c,\\ z&=&h_{31}a+h_{32}b+h_{33}c,\\ \end{eqnarray*} donde $h_{11},h_{12},\ldots$ son números reales. Entonces, estas constantes definen a $a,b,c$ linealmente a partir de $x,y,z$. Es importante que el sistema sea invertible, es decir, que se puedan despejar $a,b,c$ en términos de $x,y,z$, tal y como hicimos en el ejemplo resuelto. Algunos casos que suelen ser útiles son los siguientes, para dos y tres variables: \[\begin{array}{c} x=a+b\\ y=a-b \end{array}\hspace{3cm} \begin{array}{c} x=b+c\\ y=a+c\\ z=a+b \end{array} \] Lo importante es darse cuenta de que estos cambios son invertibles (prueba a despejar las antiguas variables en función de las nuevas), luego si $a,b,c$ se mueven en $\mathbb{R}$ también $x,y,z$ se mueven en $\mathbb{R}$. Eso no quiere decir que si $a,b,c$ son positivos, también lo sean $x,y,z$ o viceversa.

Ejercicio propuesto Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demostrar que \[\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\geq\frac{15}{8}.\] Indicación: cambia los denominadores por nuevas variables $x,y,z$.

Cambios para salvar restricciones

En muchas ocasiones, las desigualdades con las que tratamos tienen alguna restricción; por ejemplo, se nos dice que las variables tienen una suma o un producto concreto:

Si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son positivos y $x_1x_2\cdots x_n=1$, entonces podemos hacer el cambio \[x_1=\frac{a_1}{a_2},\quad x_2=\frac{a_2}{a_3},\quad\ldots,\quad x_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{a_n},\quad x_n=\frac{a_n}{a_1}.\] Parece que este cambio complica las cosas pero ahora $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son números positivos cualesquiera y la restricción ha desaparecido.
Si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ son números reales tales que $x_1+x_2+\ldots+x_n=0$, entonces podemos hacer el cambio \[x_1=a_1-a_2,\quad x_2=a_2-a_3,\quad\ldots,\quad x_{n-1}=a_{n-1}-a_n,\quad x_n=a_n-a_1,\] donde ahora $a_1,\ldots,a_n$ son números reales cualesquiera.

Ejercicio resuelto Dados tres números $a,b,c>0$ tales que $abc=1$, demostrar que \[\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{2}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{2}{(c+1)^2+a^2+1}\leq 1.\]

Solución

En primer lugar, vamos a aplicar la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para transformar los denominadores. Concretamente, \[(a+1)^2+b^2+1=a^2+2a+b^2+2\geq 2ab+2a+2,\] y lo mismo con los otros dos. Por tanto, si llamamos $E$ al miembro de la izquierda en el enunciado, tenemos que \[E\leq\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}{.}\] Ahora usamos el cambio que hemos propuesto antes, escribiendo \[a=\frac{x}{y},\quad b=\frac{y}{z},\quad c=\frac{z}{x}.\] Sustituyendo en lo anterior y operando, llegamos a que \begin{align*} \frac{1}{ab+a+1}&+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}\\&\quad=\frac{yz}{xy+yz+xz}+\frac{xz}{xy+yz+xz}+\frac{xy}{xy+yz+xz}=1. \end{align*}

Desigualdades con los lados de un triángulo

Para terminar con esta lección, vamos a estudiar un caso que se presenta frecuentemente al tratar problemas de desigualdades. Muchos problemas comienzan diciendo Si $a$, $b$ y $c$ son los lados de un triángulo, demostrar que... La pregunta es: ¿Qué tienen los lados de un triángulo que no tengan otros números? En primer lugar, son siempre positivos (las longitudes son positivas) pero además tienen que cumplir la desigualdad triangular. Por ejemplos $3$, $8$ y $20$ no son los lados de ningún triángulo porque no se puede formar un triángulo con esas longitudes. Estas desigualdades triangulares nos dicen que $a,b,c$ son los lados de un triángulo si, y sólo si, \[a\leq b+c,\quad b\leq a+c,\quad c\leq a+b.\] En otras palabras, un lado no puede ser mayor que la suma de los otros dos. Ahora hay dos caminos principales para atacar estas desigualdades: primero, usar técnicas geométricas y relacionar la expresión que estamos manejando con elementos geométricos del triángulo (área, alturas, medianas, bisectrices, radios inscrito o circunscrito,...) y después usar un razonamiento geométrico; o bien, segundo, hacer el cambio $a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$, siendo $x,y,z$ números reales positivos cualesquiera, y trabajar con las técnicas de desigualdades. Más concretamente, tenemos el siguiente resultado.

Cambio de variables para los lados de un triángulo Tres números reales $a,b,c$ son los lados de un triángulo si, y sólo si, \[a=x+y,\quad b=y+z,\quad c=x+z,\] para ciertos reales positivos $x,y,z$.

Se deja como ejercicio ver que esto es cierto, es decir, los números $x+y,y+z,x+z$ siempre son los lados de un triángulo y los lados de un triángulo siempre se expresan de esta forma. Finalizamos con un ejemplo.

Ejercicio resuelto Demostrar que en cualquier triángulo, el radio de la circunferencia circunscrita es mayor o igual que el diámetro de la circunferencia inscrita (desigualdad de Euler).

Solución

Este es un teorema de geometría clásica que tiene multitud de demostraciones, casi todas más elegantes que la que vamos a presentar aquí, pero queremos ver cómo aplicar el cambio de variable. Si $a$, $b$ y $c$ son los lados del triángulo, entonces los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, que denotaremos por $r$ y $R$, respectivamente, están dados en función de los lados por \[r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}},\quad R=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},\] donde $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ es el semiperímetro (si quieres ver de dónde proceden estas fórmulas, consulta la sección de geometría). Entonces, la desigualdad a probar es $2r\leq R$, que se puede escribir usando las fórmulas anteriores como \[8(p-a)(p-b)(p-c)\leq abc.\] Si hacemos el cambio $a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$, para $x,y,z$ positivos, entonces resulta $p-a=z$, $p-b=x$ y $p-c=y$. La desigualdad anterior se escribe ahora como \[8xyz\leq(x+y)(y+z)(x+z)\] para cualesquiera $x,y,z\gt 0$. Usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, tenemos que $2\sqrt{xy}\leq x+y$, $2\sqrt{yz}\leq y+z$, $2\sqrt{xz}\leq x+z$. Multiplicando estas tres desigualdades, obtenemos el resultado.

Ir arriba Ir al índice Informar Problemas que puedes resolver con lo aprendido en esta lecciónProblemas de Desigualdades

Olimpiadas de MatemáticasPágina de preparación y problemas

Elige un tema

Lección 4. Manipulando desigualdades II: cambios de variable

Cambios lineales

Cambios para salvar restricciones

Desigualdades con los lados de un triángulo

Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas