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Partiendo de todos los signos positivos (con suma igual a $14$) y cambiando vértices de signo, podemos llegar a cualquier configuración pero los casos anteriores nos dicen que la suma será la original modificada en un múltiplo de $4$, es decir, será 14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$, $-10$ ó $-14$.
El valor $-14$ no puede ser puesto que implicaría que todos los números son negativos y no pueden ser simultáneamente negativos los cuatro vértices de una cara y la propia cara. Tampoco puede darse el caso $-10$ ya que habría dos números negativos y $12$ positivos. Los demás casos (14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$) sí que pueden ocurrir y dejamos al lector que ponga ejemplos de cada uno de ellos.
Por inspección directa, los números menores o iguales que 100 que son suma de dos cuadrados son: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, 52, 53, 58, 61, 64, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100. Estos hacen un total de 43 valores de $P$ entre 1 y 100, lo que responde al apartado (a).
Para responder al apartado (b), veamos ahora que el producto de dos números que se expresan como suma de dos cuadrados vuelve a ser suma de dos cuadrados, pero esto es consecuencia de la siguiente identidad, válida para cualesquiera números $a$, $b$, $c$ y $d$ no necesariamente enteros: $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2{.}$$