¿Cuáles son los posibles valores de la suma de los dígitos de un cuadrado perfecto?
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Pista. Trabaja módulo 9.
Solución. Como la suma de los dígitos de un número es congruente con el número módulo $9$ y todo cuadrado es congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$, deducimos que la suma de los dígitos de un cuadrado deja uno de estos restos al dividirse entre $9$. Vamos a probar que estos son todos los números buscados, es decir, que todo número congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$ es la suma de los dígitos de un cuadrado y habremos terminado.
- Consideremos los números de la forma $5,35,335,3335,33335,\ldots$ con un cierto número de treses seguidos de un cinco. Sus cuadrados son $25,1225,112225,11115556,\ldots$ cuyas sumas nos dan todos los números de la forma $3k+1$ para $k\geq 2$. Para $k=0$ y $k=1$, tenemos $1^2=1$ con suma $1$ y $2^2=4$ con suma $4$, luego recuperamos así todos los números naturales congruentes con $1$, $4$ y $7$ módulo $9$.
- Tomemos ahora los números de la forma $6,36,336,3336,33336,\ldots$ en los que hemos sustituido los cincos por seises. Sus cuadrados son $36,1296,112896,11128896,1111288896,\ldots$ cuya suma de dígitos es cualquier múltiplo de $9$.
Dado $n\geq 1$, hallar todas las $n$-uplas de números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 1$ tales que
\[\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n+1]{x_n}=\sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2+\ldots+x_n}.\]
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Pista. Realmente, para cualesquiera $x_1,x_2,\ldots,x_n\geq 1$, una de las desigualdades en la igualdad del enunciado se cumple, luego el problema puede reducirse a estudiar cuándo se alcanza la igualdad en una desigualdad. La desigualdad de Cauchy-Schwarz puede ser útil para terminar el problema.
Solución. Evidentemente, si tomamos $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$, tenemos una solución. Veremos ahora que, independientemente de los valores de las variables siempre se tiene una desigualdad $\leq$ en la expresión del enunciado y veremos que la igualdad sólo se alcanza para esta solución.
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores
\begin{eqnarray*}
u&=&\left(\sqrt{x_1},\sqrt[3]{x_2},\ldots,\sqrt[n+1]{x_n}\right)\\
v&=&\left(1,1,\ldots,1\right)
\end{eqnarray*}
llegamos a que
\[\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n+1]{x_n}\leq\sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2^{2/3}+x_3^{2/4}+\ldots+x_n^{2/(n+1)}}\]
Ahora bien, como $x_2,\ldots,x_n$ son mayores o iguales que uno que uno, se tiene que $x_k^{2/(k+1)}\leq x_k$ pues $\frac{2}{k+1}\leq 1$. Esto demuestra la desigualdad que queremos y, si la igualdad se alcanza, entonces $x_2=\ldots=x_n=1$ por la última desigualdad y $x_1=1$ por la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Deducimos que $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$ es la única solución al problema.
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Supongamos que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y $Z$, respectivamente. Demostrar que $EY =FZ$.
Sin pistas
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