Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si denotamos por $\{a_1,\ldots,a_{100}\}$ a los términos de la sucesión, entonces podemos escribir $a_k=a_1+(k-1)d$ donde $d$ es la diferencia de la progresión aritmética. Las condición sobre la suma de los términos se traduce en \begin{align*} -1=a_1+a_2+\ldots+a_{100}&=a_1^2+(a_1+d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=100a_1+(1+2+\ldots+99)d=100a_1+4950d \end{align*} y la condición sobre suma de los términos pares se traduce en \begin{align*} 1=a_2+a_4+\ldots+a_{100}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=50a_1+(1+3+\ldots+99)d=50a_1+2500d. \end{align*} Tenemos así un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_1$ y $d$, que tiene por solución única $d=\frac{3}{50}$ y $a_1=\frac{-149}{50}$. Vamos a usar esto para calcular la suma de los cuadrados: \begin{align*} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{100}^2&=a_1^2+(a_1+d)^2+\ldots+(a_1+99d)^2\\ &=100a_1^2+2(1+2+\ldots+99)a_1d+(1^2+2^2+\ldots+99^2)d^2\\ &=100a_1^2+9900a_1d+328350=\frac{14999}{50}. \end{align*}

Nota. En los cálculos anteriores, hemos usado las fórmulas conocidas para la suma de los $n$ primeros naturales, impares y cuadrados: \[1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1+3+\ldots+(2n-1)=n^2,\] \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

Solución. Si $\sqrt{k^2-kp}$ es igual a un número natural $n$, entonces $k^2-kp=n^2$. Utilizando la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado, podemos despejar \[k=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4n^2}}{2}.\] Ahora bien, si $k$ es un número entero, la raíz anterior tiene que ser otro número natural, llamémoslo $m$ y, por tanto, $p^2+4n^2=m^2$. Podemos despejar así $p^2=m^2-4n^2=(m-2n)(m+2n)$. Como $p$ es primo, las únicas factorizaciones posibles de $p^2$ son $p^2=(-1)(-p^2)=(-p)(-p)=p\cdot p=1\cdot p^2$, pero $m-2n$ es menor o igual que $m+2n$ por ser $n$ mayor o igual que cero, y $m+2n$ también es positivo luego tenemos las siguientes dos posibilidades:

• $m-2n=1$, $m+2n=p^2$, de donde $m=\frac{p^2+1}{2}$ y $n=\frac{p^2-1}{4}$.
• $m-2n=p$, $m+2n=p$, de donde $m=p$ y $n=0$.

Sustituyendo estos valores de $m$ en la ecuación de segundo grado para $k$, obtenemos las siguientes posibilidades: \[k=0,\hspace{1cm}k=p,\hspace{1cm}k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^2,\hspace{1cm}k=-\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}.\] Las dos primeras son enteras sea cual sea el primo $p$ pero la tercera y la cuarta sólo cuando $p$ es impar, es decir, para $p\geq 3$. Si no consideramos el cero como número natural, tenemos que descartar las dos primeras.