Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Deduciendo los dígitos de uno en uno, se llega fácilmente a la siguiente solución única: \[\begin{matrix} &2&8&7\\ \times&&2&3\\\hline &8&6&1\\ 5&7&4&\\ \hline 6&6&0&1 \end{matrix}\]

Solución. Sea $i(p)$ la función que devuelve los ingresos en términos del precio $p$ por unidad. El número de bicicletas vendidas en función de $p$ viene dado por $\frac{3900-3p}{7}$ (es una función lineal de la forma $ap+b$, donde $a=-\frac{3}{7}$ ya que debe aumentar/disminuir $3$ unidades si $p$ disminuye/aumenta $7$ euros y $b$ se ajusta para que $600a+b=300$). De esta manera, tenemos que $i(p)=\frac{3900-3p}{7}p$ es igual al número de unidades vendidas multiplicado por el precio de la unidad.

Podemos completar el cuadrado para expresar \[i(p)=\tfrac{-3}{7}(p^2-1300p)=\tfrac{3}{7}650^2-\tfrac{3}{7}(p-650)^2.\] Por tanto, los ingresos serán máximos cuando $(p-650)^2$ sea mínimo, es decir, para $p=650$, en cuyo caso los ingresos máximos vendrán dados por $\tfrac{3}{7}650^2$ euros, respondiendo así al apartado (b). En cuanto al apartado (a), la respuesta es afirmativa puesto que la función $i(p)$ es creciente en el intervalo $(0,650)$ y, en particular, en el precio inicial $p=600$.

Nota. La última parte se puede analizar también con la derivada. Probablemente, el ejercicio original estaba pensado para hacerse con una derivada.

Solución. Vamos a escribir el problema con geometría analítica, de forma que los vértices tienen coordenadas $A=(x_A,y_A)$, $B=(x_B,y_B)$ y $C=(x_C,y_C)$ y consideramos el punto variable $M=(x,y)$. Tenemos entonces que el baricentro tiene coordenadas $G=(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \tfrac{y_A+y_B+y_C}{3})$, luego podemos calcular \begin{align*}MA^2+MB^2+MC^2&=(x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(x-x_B)^2+(y-y_B)^2+(x-x_C)^2+(y-y_C)^2\\ &=3x^2+3y^2-6x_Gx-6y_Gy+x_A^2+x_B^2+x_C^2+y_A^2+y_B^2+y_C^2\\ &=3\left((x-x_G)^2+\left(y-y_G\right)^2\right)+x_A^2+x_B^2+x_C^2+y_A^2+y_B^2+y_C^2-3x_G^2-3y_G^2 \end{align*} Sustituyendo $x=x_G$ e $y=y_G$ en la igualdad anterior, obtenemos directamente que \[GA^2+GB^2+GC^2=x_A^2+x_B^2+x_C^2+y_A^2+y_B^2+y_C^2-3x_G^2-3y_G^2,\] por lo que se tiene que \[MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2.\] De aquí se deduce que la desigualdad en el apartado (a) y que la igualdad se alcanza si y sólo si $MG=0$, es decir, cuando $M=G$. Más aún, si $MA^2+MB^2+MC^2=k\gt GA^2+GB^2+GC^2$, entonces la igualdad anterior nos dice que $MG$ es una constante positiva. Deducimos así que los puntos que cumplen (b) son los de una circunferencia centrada en $G$ de radio $\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{k-GA^2-GB^2-GC^2}$.

Solución. Supongamos que $\{a,a+1,a+2,\ldots,a+m\}$ es un conjunto de números naturales consecutivos tales que su suma $S$ es igual a $1999$. Usando la fórmula de los términos de una progresión aritmética, podemos calcular \begin{eqnarray} S=a+(a+1)+\cdots+(a+m)&=&(m+1)\cdot a+(1+2+\cdots+m)\\ &=&(m+1)\cdot a+\frac{m(m+1)}{2}. \end{eqnarray} Sacando factor común $m+1$ y quitando denominadores, llegamos a que $(m+1)(2a+m)=3998$. La descomposición en factores primos de $3998$ es $2\cdot 1999$ ya que $1999$ es primo. Además, $m+1$ es un número positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:

• $m+1=1$ y $2a+m=3998$, en cuyo caso $m=0$ y $a=1999$.
• $m+1=2$ y $2a+m=1999$, en cuyo caso $m=1$ y $a=999$.
• $m+1=1999$ y $2a+m=2$, lo que nos lleva a un valor negativo de $a$.
• $m+1=3998$ y $2a+m=1$, que también nos lleva a un valor negativo de $a$.

Deducimos que las únicas sucesiones que cumplen el enunciado son la que tiene por único elemento al número $1999$ y la formada por los números $999$ y $1000$.

Solución. Pongamos que la hipotenusa del triángulo mide $a$ y los catetos $b$. En un triángulo rectángulo la circunferencia circunscrita tiene a la hipotenusa por diámetro, luego el radio de la circunferencia circunscrita es $R=\frac{a}{2}$. Por otro lado, el área del triángulo es $S=\frac{b^2}{2}$, pero también puede calcularse como $S=pr$, donde $r$ es el radio de la circunferencia inscrita y $p=\frac{1}{2}(a+2b)$ el semiperímetro. Podemos despejar entonces $r=\frac{b^2}{2p}=\frac{b^2}{a+2b}$. Usando el teorema de Pitágoras podemos finalmente calcular \begin{align*} R+r&=\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+2b}=\frac{a^2+2ab+2b^2}{2a+4b}\\ &=\frac{4b^2+2ab}{2a+4b}=b. \end{align*}

Nota. Un cálculo similar muestra que si el triángulo rectángulo no es necesariamente isósceles, entonces $R+r=\frac{b+c}{2}$, donde $b$ y $c$ son las longitudes de los catetos.

Solución. Si desarrollamos la condición del enunciado tomando denominador común, llegamos a que \[(bc+ac+ab)(a+b+c)=abc.\] Desarrollando esta igualdad y pasándolo todo al miembro de la derecha tenemos que \[a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b+2abc=0.\] Esta última igualdad se puede factorizar de la siguiente forma (no es fácil darse cuenta pero el hecho de que si sustituimos $b$ por $-a$, se obtiene $0=0$ nos puede dar una pista): \[(a+b)(b+c)(a+c)=0.\] Por lo tanto, se cumplirá que $a=-b$, $b=-c$ ó $c=-a$. Supongamos que se cumple la primera condición (con las demás se razona de forma similar); entonces tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{1}{a^{1999}}+\frac{1}{b^{1999}}+\frac{1}{c^{1999}}&=&\frac{-1}{b^{1999}}+\frac{1}{b^{1999}}+\frac{1}{c^{1999}}=\frac{1}{c^{1999}}\\ &=&\frac{1}{(-b)^{1999}+b^{1999}+c^{1999}}=\frac{1}{a^{1999}+b^{1999}+c^{1999}}. \end{eqnarray*} como queríamos probar.

Nota. Obviamente podría haberse sustituido $1999$ por cualquier otro número impar.