Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Basta numerar de la siguiente manera: a cada vértice le asignamos un número distinto entre $1$ y $n$, a cada lado el número del vértice opuesto y a cada diagonal el número que tiene el lado que es paralelo a ella. Que hay un vértice opuesto a un lado y que hay un único lado paralelo a cada diagonal está garantizado por haber un número impar de lados. Es fácil ver que esta numeración cumple las propiedades (a) y (b).

Observemos que, además se cumple que cualquier par de segmentos (lados o diagonales) que se cortan tienen número distinto.

Solución. Esta solución ha sido compartida por Sergio Millán López. Vamos a llamar A al primer jugador y B al segundo para simplificar y vamos a dar una estrategia ganadora para A. El jugador A comienza quitando $4$ piedras, de forma que quedan $1996\equiv 7\ (\text{mod }13)$ piedras. A continuación, vamos a describir una serie de jugadas que puede hacer A para asegurar que el número de piedras restante sea congruente con $0$ o con $7$ módulo $13$ tras algunas jugadas.

• Supongamos que el número de piedras restante es congruente con $0$ módulo $13$ (es decir, es múltiplo de $13$) tras la jugada de A.
  • Si B quita $1$, $2$, $4$ o $5$ piedras, entonces A responde quitando $5$, $4$, $2$ o $1$ piedras, respectivamente. Se han quitado $6$ piedras y el número restante es congruente con $7$ módulo $13$.
  • Si B quita $3$ piedras, entonces A responde quitando 5. A continuación, B puede quitar $1$, $2$, $3$ o $4$, a lo que A responde quitando $4$, $3$, $2$ o $1$ piedras, respectivamente. Después de estas dos rondas, se han quitado 13 piedras y el número de piedras restantes sigue siendo congruente con $0$ módulo $13$.
• Supongamos ahora que el número de piedras restante es congruente con $7$ módulo $13$ tras la jugada de A.
  • Si B quita $2$, $3$, $4$ o $5$ piedras, entonces A responde quitando $5$, $4$, $3$ o $2$, respectivamente. Se han quitado $7$ piedras y el número restante es congruente con $0$ módulo $13$.
  • Si B quita $1$ piedra, entonces A responde quitando $3$. A continuación, B puede quitar $1$, $2$, $4$ o $5$, a lo que A responde quitando $2$, $1$, $5$ o $4$ piedras, respectivamente. Después de estas dos rondas, se han quitado $6$ piedras (si B quitó $1$ o $2$) o bien $13$ (si B quitó $4$ o $5$). El número de piedras restantes es congruente con $7$ módulo $13$ o bien sigue siendo congruente con $0$ módulo $13$, dependiendo del caso.

De esta manera, se van quitando grupos de 6, 7 o 13 piedras siempre siendo el número restante congruente con 0 o 7 módulo 13 tras la jugada de A. Esto nos lleva invariablemente a que habrá un momento en que se hayan agotado las piedras tras la jugada de A (y, por tanto, A ha ganado) o bien queden exactamente 7 piedras. En este último caso, A remata el juego como sigue:

• Si B quita 2, 3, 4 o 5 piedras en la siguiente jugada, entonces A responde quitando 5, 4, 3 o 2 piedras, respectivamente, luego A agota las piedras y ha ganado.
• Si resulta, por el contrario, que B quita una sola piedra, entonces A quita 3 piedras y quedan solo 3 piedras en el montón. B no puede quitarlas todas: sólo puede quitar 1 o 2 piedras, a lo que A responde quitando las que quedan y también ha ganado en este caso.

Nota. Si el número de piedras es $13n+k$ con $k\in\{1,2,3,4,5,8,9,10,11,12\}$, entonces el mismo razonamiento es válido ya que A sólo tiene que quitar 1, 2, 3, 4 o 5 piedras al principio para que quede un número de la forma $13n$ o $13n+7$. Si el número de piedras es de la forma $13n$ o $13n+7$, entonces es B quien tiene la estrategia ganadora porque puede aplicar a partir de ahí lo que se ha descrito para A. Finalmente, si el número de piedras es de la forma $13n+6$, entonces en su primera jugada A lo transformará en un número de la forma $13n+k$ con $k\in\{1,2,3,4,5\}$ y entonces B tendrá una estrategia ganadora.