Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Nacional |
| OIM |
| OME Andalucía |
| Retos UJA |
Todos los problemas
La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
XXIII Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2008
Sesión 1 — Salvador de Bahía (Brasil), 23 de septiembre de 2008
Problema 560
OIM, 2008-P1
Se distribuyen los números $1,2,3,\ldots, 2008^2$ en un tablero $2008\times 2008$, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $S$ la suma de los $4016$ números así obtenidos. Determinar el mayor valor posible de $S$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 561
OIM, 2008-P2
Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $r$ la bisectriz externa del ángulo $\angle ABC$. Se consideran $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $r$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Las rectas $CP$ y $AB$ se intersecan en $M$ y las rectas $AQ$ y $BC$ se intersecan en $N$. Demostrar que las rectas $AC$, $MN$ y $r$ tienen un punto en común.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 562
OIM, 2008-P3
Sean $m$ y $n$ enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ e $y$ son enteros y $107$ divide a $P(x)-P(y)$, entonces $107$ también divide a $x-y$. Demostrar que $107$ divide a $m$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2 — Salvador de Bahía (Brasil), 24 de septiembre de 2008
Problema 166
OIM, 2008-P4
Demostrar que no existen enteros positivos $x$ e $y$ tales que
\[x^{2008}+2008!=21^y.\]
pistasolución 1info
Pista. Piensa en cuál es el exponente de $7$ en $2008!$ y cómo puede ayudarte saber eso para resolver el problema.
Solución. El exponente de $7$ en la descomposición de $2008!$ en factores primos es $331$ (¿por qué?). Entonces podemos expresar $2008!=7^{331}\cdot a$ para cierto número natural $a$ que no es múltiplo de $7$, luego en la ecuación original tenemos que
\[x^{2008}=7^y\cdot 3^y-7^{331}\cdot a.\]
Si $y\gt 331$, entonces el exponente de $7$ en la descomposición del miembro de la derecha en factores primos es $331$, mientras que si $y\leq 331$, dicho exponente es igual a $y$. Como el exponente de $7$ en el miembro de la izquierda es múltiplo de $2008$, la única posibilidad es que este exponente sea cero, es decir, $y=0$. No obstante, no puede haber ninguna solución de la ecuación con $y=0$ ya que en tal caso $x^{2008}=21^0-2008!\lt 0$ pero $x^{2008}$ siempre es mayor o igual que cero. Esto termina de probar el enunciado.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 563
OIM, 2008-P5
Sea $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos sobre los lados $BC,AC, AB$, respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY$, $BXZ$ y $CYX$. Demostrar que
$$\mathrm{Area}(A'B'C')\geq\frac{1}{4}\mathrm{Area}(ABC)$$
y que la igualdad se cumple si, y sólo si, las rectas $AA',BB',CC'$ tienen un punto en común.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 564
OIM, 2008-P6
En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro personas cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo, se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. ¿Para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características?
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2024. Esta página ha sido creada mediante software libre