Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $a+b=2009$ y calculemos \begin{align*}\frac{5}{5+25^{a/2009}}+\frac{5}{5+25^{b/2009}} &=\frac{5\cdot (5+25^{b/2009})+5\cdot(5+25^{a/2009})}{(5+25^{a/2009})(5+25^{b/2009})}\\ &=\frac{25+5\cdot 25^{b/2009}+25+5\cdot 25^{a/2009}}{25+5(25^{a/2009}+25^{b/2009})+25}=1. \end{align*} De esta manera, podemos agrupar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. Como hay $2008$ términos, podemos hacer $1004$ parejas que suman $1$ (sin que sobre ningún término), luego la suma del enunciado es igual a $1004$.

Solución. Estas tres desigualdades se pueden reescribir como \begin{align*} \angle ACB\leq \angle APB\leq 2\angle ACB,\\ \angle BAC\leq \angle BPC\leq 2\angle BAC,\\ \angle CBA\leq \angle CPA\leq 2\angle CBA. \end{align*} Sumando y usando que $\angle ACB+\angle BAC+\angle CBA=180^\circ$ (los ángulos del triángulo $ABC$ suman $180^\circ$, tenemos que \[180^\circ\leq \angle APB+\angle BPC+\angle CPA\leq 360^\circ.\] Sin embargo, se tiene que $\angle APB+\angle BPC+\angle CPA=360^\circ$ ya que estos tres ángulos forman un ángulo completo. Tenemos así que deben darse las siguientes tres igualdades: \[\angle APB=2\angle ACB,\qquad\angle BPC=2\angle BAC,\qquad\angle CPA=2\angle CBA.\] Estas igualdades se cumplen si $P$ coincide con $O$, el circuncentro de $ABC$ por la propiedad del ángulo central en la circunferencia circunscrita a $ABC$. Por la propiedad del arco capaz, la igualdad $\angle APB=\angle AOP$ nos dice que $P$ tiene que estar en la circunferencia circunscrita de $ABO$ y análogamente, tiene que estar en las circunferencias circunscritas de $BCO$ y $CAO$. Como estas tres circunferencias solo se cortan en $O$, necesariamente ha de ser $P=O$. Hemos probado así que el circuncentro es el único punto que cumple las condiciones del enunciado (observemos que el circuncentro es interior al triángulo puesto que es acutángulo).

Solución. Probando con los sumandos más grandes posibles (para intentar minimizar el número de sumandos), llegamos a la siguiente descomposición: \[2009=1111+777+99+22.\] Si ahora trabajamos módulo $11$, observamos que los sumandos de dos y cuatro cifras son congruentes con $0$, mientras que los sumandos de tres cifras son congruentes con la cifra. Como $2009\equiv 7\ (\text{mod }11)$, las cifras de los números de tres cifras que usemos tienen que sumar $7$ o $18$ (si sumaran $25$ o más, nos pasaríamos ya que $25\cdot 111\gt 2009$). Si suman $18$, entonces tendríamos $18\cdot 111=1998$, que nos dejaría $9$ unidades de margen y no pueden obtenerse con otros sumandos puesto que no está permitido usar sumandos de una cifra. Tenemos así que $777$ tiene que ser el único sumando de tres cifras en cualquier descomposición que hagamos de $2009$ con el menor número de sumandos (ya que podríamos descomponer, por ejemplo, $777=444+333$). También tiene que ser necesariamente $1111$ otro sumando ya que no podemos obtener $2009-777=1232$ si sumamos solamente números de dos cifras distintos (tenemos que $11+22+\ldots+99=495\lt 1232$). Teniendo ahora en cuenta que $2009-777-1111=121$ tiene que expresarse como suma de (dos) números de dos cifras, obtenemos fácilmente las únicas cuatro descomposiciones que usan cuatro sumandos: \begin{align*} 2009&=1111+777+99+22,&2009&=1111+777+88+33,\\ 2009&=1111+777+77+44,&2009&=1111+777+66+55. \end{align*} Cualquier otra descomposición se obtiene reordenando sumandos o bien tienen al menos cinco sumandos.

Solución. Podemos factorizar \[n^{19}-n^7=n^7(n^{12}-1)=n\cdot n^6\,(n^6+1)(n^6-1).\] Observamos que $n^6-1$, $n^6$ y $n^6+1$ son tres enteros consecutivos, luego habrá uno de ellos múltiplo de $2$ y también habrá uno múltiplo de $3$. Por otro lado, si $n$ es múltiplo de $5$, el número también será múltiplo de $5$ puesto que tiene un factor $n$. Si $n$ no es múltiplo de $5$, entonces $n^2$ es congruente con $1$ o $4$ módulo $5$, luego $n^6=(n^2)^3$ congruente con $1^3=1$ (en cuyo caso $n^6-1$ es múltiplo de $5$) o con $4^3=64\equiv 4$ (en cuyo caso $n^6+1$ es múltiplo de $5$).

En todos los casos, hemos probado que $n^{19}-n^7$ es múltiplo de $2$, de $3$ y de $5$, luego es múltiplo de $30$.

Nota. El polinomio original se puede seguir factorizando, aunque no aporta nada esencial a la discusión. Una factorización completa sobre los enteros es: \[n^{19}-n^7=n^7(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)(n^4-n^2+1)\]

Solución. Supongamos que $\alpha$ es una raíz común a ambos polinomios. Restando las igualdades $\alpha^n+a\alpha=2008$ y $\alpha^n+b\alpha=2009$, obtenemos que $(b-a)\alpha=1$, luego solo hay una posible raíz común, que es $\alpha=\frac{1}{b-a}$. Sustituyéndola en la primera ecuación, tenemos que \[\frac{1}{(b-a)^n}+\frac{a}{b-a}=2008\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{(b-a)^{n-1}}=2008(b-a)-a=2008b-2009a.\] De aquí deducimos que \[(b-a)^{n-1}(2008b-2009a)=1.\] Al tratarse de números enteros obtenemos que $b-a=\pm 1$ y $2008b-2009a=\pm 1$, aunque habrá que tener en cuenta la paridad del exponente $n-1$. Distingamos casos:

• Si $b-a=1$ y $2008b-2009a=1$, podemos resolver este sistema lineal para llegar a que $a=2007$ y $b=2008$, en cuyo caso se comprueba fácilmente que $x_0=1$ es raíz común a los dos polinomios del enunciado.
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=1$ (siendo $n$ impar), el sistema lineal nos da $a=-2009$ y $b=-2010$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba fácilmente).
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=-1$ (siendo $n$ par), el sistema lineal nos da $a=-2007$ y $b=-2008$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba también fácilmente).

Por tanto, respondemos al enunciado diciendo que las soluciones $(a,b)$ para $n$ par son $(2007,2008)$ y $(-2007,-2008)$; si $n$ es impar, las soluciones son $(2007,2008)$ y $(-2009,-2010)$.