Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n\geq 3$ un entero. Supongamos que $n$ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura. Comenzando en la isla $x_1$, ¿de cuántas maneras se pueden recorrer los $2n$ puentes pasando por cada puente exactamente una vez?

Para cada entero positivo $n$ se define $a_n=n+m$, donde $m$ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $\{a_n\}$.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$ con el mismo radio y que se cortan en $A$ y en $B$. Sea $P$ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C$, la recta $CB$ corta a $C2$ en $D$ y la bisectriz de $\angle CAD$ corta a $C_1$ en $E$ y a $C_2$ en $L$. Sea $F$ el punto simétrico a $D$ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X$ que satisface $\angle XFL=\angle XCD=30^\circ$ y $CX=O_1O_2$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ interseca por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

La sucesión $\{a_n\}$ está definida por \[a_1=1,\qquad a_{2k}=1+a_k,\qquad a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}},\quad \text{para todo }k\geq 1.\] Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esta sucesión.

Alrededor de una circunferencia se marcan $6000$ puntos y cada uno se colorea con uno de $10$ colores dados, de manera tal que entre cualesquiera $100$ puntos consecutivos siempre figuran los $10$ colores. Hallar el menor valor $k$ tal que, para toda coloración de este tipo, existen $k$ puntos consecutivos entre los cuales figuran los $10$ colores.