Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un polígono regular de $67$ lados trazamos todos los segmentos que unen dos vértices, incluidos los lados del polígono. Elegimos $n$ de estos segmentos y asignamos a cada uno de ellos un color entre $10$ colores posibles. Halla el valor mínimo de $n$ que garantiza que, independientemente de cuáles sean los $n$ segmentos elegidos y de cómo se haga la asignación de colores, siempre habrá un vértice que pertenezca a $7$ segmentos del mismo color.

Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demustra que \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}}\geq\frac{5}{2}.\] ¿Cuándo se alcanza la igualdad?

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos en el espacio tales que no hay ningún plano que pasa por los cuatro a la vez. Los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ son tangentes a una misma esfera. Demuestra que los cuatro puntos de tangencia están en un mismo plano.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC=2\angle BCA$ y $\angle CAB\gt 90^\circ$. Sean $D$ el punto de la recta $AB$ tal que $CD$ es perpendicular a $AC$ y $M$ el punto medio de $BC$. Demostrar que $\angle AMB=\angle DMC$.

Cada número racional se pinta de rojo o de blanco. Se dice que una tal coloración es sanferminera cuando para cada dos números racionales $x,y$ con $x\neq y$, si se cumple una de las siguientes tres condiciones:

• $xy=1$,
• $x+y=0$,
• $x+y=1$,

entonces $x$ e $y$ están pintados de distinto color. ¿Cuántas coloraciones sanfermineras hay?

Sea $\{S_n\}$ una sucesión definida (para $n\geq 0$) por

• $S_n=1$ si $0\leq n\leq 2011$,
• $S_{n+2012}=S_{n+2011}+S_n$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que, para todo entero no negativo $a$, se cumple que $S_{2011a}-S_a$ es múltiplo de $2011$.