Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
XXVI Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2011
Sesión 1 — San José (Costa Rica), 27 de septiembre de 2011
Problema 901
OIM, 2011-P1
En la pizarra está escrito el número $2$. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones:
- multiplicarlo por 2,
- multiplicarlo por 3,
- sumarle 1.
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Problema 902
OIM, 2011-P2
Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres números enteros no nulos $x, y, z$ tales que
\[x+y+z=0\qquad\text{y}\qquad\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}.\]
pistasolución 1info
Pista. Sustituye $z=-x-y$ y usa la expresión resultante para probar que $n$ es necesariamente par.
Solución. Sustituyendo $z=-x-y$, obtenemos que
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{x+y}=\frac{x^2+xy+y^2}{xy(x+y)}.\qquad (\star)\]
Si esta expresión es igual al inverso de un natural $n$, entonces
\[xy(x+y)=n(x^2+xy+y^2).\]
Veamos que $n$ es par distinguiendo casos:
- Si $x$ es impar o $y$ es impar, entonces $xy(x+y)$ es par mientras que $x^2+xy+y^2$ es impar, luego $n$ tiene que ser par.
- Si $x$ e $y$ son ambos pares, entonces sea $2^a$ es la mayor potencia de $2$ que divide tanto a $x$ como a $y$. Tenemos que $2^{3a}$ divide a $xy(x+y)$, pero el factor $x^2+xy+y^2$ es divisible solo por $2^{2a}$. Por tanto $2^a$ divide a $n$, que tiene que ser par.
El problema habrá terminado si probamos que todo entero par se puede escribir de esta manera. Para que el denominador en $(\star)$ sea igual a $2$, tenemos que elegir $x=y=1$, luego $z=-2$. Esto nos da la igualdad $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{-2}=\frac{3}{2}$, que no es solución pero podemos dividir por $3$ ambos miembros para obtener $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{-6}=\frac{1}{2}$, luego $n=2$ es solución para $(x,y,z)=(3,3,-6)$. Obtenemos el resto de números pares $n=2k$ si tomamos $(x,y,z)=(3k,3k,-6k)$.
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Problema 903
OIM, 2011-P3
Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Supongamos que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $YZ,ZX,XY$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se cortan sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Suponga que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.
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Sesión 2 — San José (Costa Rica), 28 de septiembre de 2011
Problema 904
OIM, 2011-P4
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demostrar que $Q$ es el ortocentro de $ABC$.
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Problema 905
OIM, 2011-P5
Sean $x_1,\ldots,x_n$ números reales positivos. Demostrar que existen
$a_1,\ldots,a_n\in\{-1,1\}$ tales que
\[a_1x_1^2+\ldots+a_nx^2_n\geq(a_1x_1+\ldots+a_nx_n)^2.\]
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Problema 906
OIM, 2011-P6
Sean $k$ y $n$ enteros positivos, con $k\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo $m$ pasos, que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si:
- $n$ es par,
- $n$ es impar y $k=3$.
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