Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.

1. Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1, kc_2,\ldots,kc_n\}$ es canalero.
2. Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Sea $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ con $n\gt 5$. Demostrar que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ tal que \[\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2,\] es decir, el producto de los elementos de $B$ es igual a la suma de los elementos de $B$.

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que:

• $A\cup B$ es el conjunto de los enteros positivos.
• $A\cap B$ es el vacío.
• Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$.

Hallar los posibles conjuntos $A$ y $B$ cumpliendo estas condiciones.

Una configuración es un conjunto finito $S$ de puntos del plano entre los cuales no hay tres colineales y a cada punto se le asigna algún color de modo que, si un triángulo cuyos vértices están en $S$ tiene un ángulo mayor o igual a $120^\circ$, entonces exactamente dos de sus vértices son de un mismo color. Hallar el número máximo de puntos que puede tener un configuración.