Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En cualquier disposición que hagamos los números del 1 al 9 ocuparán posiciones consecutivas y se pueden dividir en tres grupos de tres números cada uno. Como $1+2+\ldots+9=45$, el principio del palomar nos asegura que alguno de estos tres grupos tiene que sumar al menos $\frac{45}{3}=15$, lo que nos da una respuesta negativa a las opciones (a) y (b). Queda por ver si pueden disponerse los números para que la suma de tres consecutivos sea a lo sumo 15. La respuesta es afirmativa ya que podemos colocarlos en el orden $0-9-5-1-8-4-3-7-6-2$.

Solución. Teniendo en cuenta que una ecuación de la forma $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ se puede escribir como $(z-x)(z-y)=z^2$, la condición del enunciado se transforma fácilmente en $rq(n-1)^2=(r+q)^2$. Como $r$ y $q$ no pueden ser cero (no se cumpliría la condición del enunciado), deducimos que \[(n-1)^2=\frac{(r+q)^2}{rq}{.}\] A esta última ecuación también puede llegarse operando directamente sobre la condición del enunciado sin dificultad. Podemos usar esta ecuación para expresar \[\frac{n-3}{n+1}=\frac{(n-3)(n+1)}{(n+1)^2}=\frac{n^2-2n-3}{(n+1)^2}=\frac{(n-1)^2-4}{(n+1)^2}=\frac{(r+q)^2-4rq}{rq(n+1)^2}=\frac{(r-q)^2(n-1)^2}{(r+q)^2(n+1)^2}\] y, por tanto, se tiene que $\frac{n-3}{n+1}$ es el cuadrado de un número racional, como queríamos probar.

Es necesario darse cuenta de que $n$ no puede ser $-1$, pues en tal caso el enunciado no se cumpliría. Por reducción al absurdo, si $n=-1$, la condición del enunciado nos dice que $\frac{1}{r+q}=0$, lo que es una contradicción.

Solución. Se pueden calcular algunos términos, pero rápidamente el resultado se dispara ya que la sucesión crece exponencialmente:\[x_1^2+1=5,\quad x_2^2+1=325,\quad x_3^2+1=136469125,\ldots\] Vamos a probar por inducción sobre $n$ que $x_n^2+1$ es múltiplo de $5^n$ pero no de $5^{n+1}$. Si probamos esto, tendremos que la solución al problema es $5^{2024}$. Está claro que el caso $n=1$ es cierto ya que $x_1^2+1=5$ es múltiplo de $5$ pero no de $25$. También es cierto si $n=2$ ya que $x_2^2+1=325$ es múltiplo de $25$ pero no de $125$. Supongamos que la propiedad es cierta para $n\geq 2$, lo que nos permite escribir $x_n^2+1=5^ny_n$, siendo $y_n$ no múltiplo de $5$. Entonces, para $x_{n+1}$ podemos desarrollar y simplificar \begin{align*}x_{n+1}^2+1&=(2x_n^3+x_n)^2+1=(4x_n^4+4x_n^2+1)x_n^2+1\\\\&=(4(5^ny_n-1)^2+4(5^ny_n-1)+1)(5^ny_n-1)+1\\\\&=4\cdot 5^{3n}y_n^3-8\cdot 5^{2n}y_n^2+5^{n+1}y_n\\\\&=5^{n+1}(4\cdot 5^{2n-1}y_n^3-8\cdot 5^{n-1}y_n^2+y_n).\end{align*}Este número es múltiplo de $5^{n+1}$ pero no de $5^{n+2}$ ya que el factor $4\cdot 5^{2n-1}y_n^3-8\cdot 5^{n-1}y_n^2+y_n$ es congruente con $y_n$ módulo $5$. Aquí estamos usando que $n\geq 2$ para asegurar que $5^{n-1}$ es múltiplo de $5$, es decir, en la inducción hemos tenido que comprobar dos casos iniciales.