Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Nacional |
| OIM |
| OME Andalucía |
| Retos UJA |
Todos los problemas
La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
XXXI Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas — 2016
Sesión 1 — Antofagasta (Chile), 27 de septiembre de 2016
Problema 1014
OIM, 2016-P1
Determinar todos los números primos positivos $p,q,r,k$ tales que
\[pq+qr+rp=12k+1.\]
pistasolución 1info
Pista. Trabaja módulo $4$ para demostrar que uno de los primos tiene que ser $2$. Luego trabaja módulo $3$.
Solución. Veamos en primer lugar que uno de los primos $p,q,r$ tiene que ser igual a $2$. Por reducción al absurdo, si los tres son impares, serán congruentes con $1$ o $3$ módulo $4$. Si los tres son congruentes con $1$ o los tres son congruentes con $3$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+1+1=3\ (\text{mod }4)$. También se tiene que si sólo uno o dos de ellos son congruentes con $1$, entonces $pq+qr+rp\equiv 1+3+3=3\ (\text{mod }4)$. Sin embargo, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }4)$, lo cual es una contradicción.
Supongamos sin perder generalidad que $r=2$, luego la ecuación queda $pq+2p+2q=12k+1$. Vamos a probar ahora que uno de los primos $p,q$ es igual a $3$. De nuevo por reducción al absurdo, si $p$ y $q$ son congruentes con $1$ o con $2$ módulo $3$. Entonces, es fácil ver que $pq+2p+2q\equiv 0\ (\text{mod }3)$ si $p\equiv q\equiv 2$ o bien $pq+2p+2q\equiv 2\ (\text{mod }3)$ en caso contrario. No obstante, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }3)$.
Podemos suponer entonces que $q=3$ sin perder generalidad y la ecuación original nos queda $5p+5=12k$. Como $k$ es primo y el miembro de la izquierda es múltiplo de $5$, tiene que ser $k=5$. Esto nos da $p=11$. Concluimos que las única posibilidad es que $p,q,r$ sean los primos $2,3,11$ (en cualquier orden) y $k=5$.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1015
OIM, 2016-P2
Encontrar todas las soluciones reales positivas del sistema de ecuaciones
\[x=\frac{1}{y^2+y-1},\qquad y=\frac{1}{z^2+z-1},\qquad z=\frac{1}{x^2+x-1}.\]
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1016
OIM, 2016-P3
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es $\Gamma$. Las tangentes a $\Gamma$ por $B$ y $C$ se cortan en $P$. Sobre el arco $AC$ que no contiene a $B$ se toma un punto $M$ distinto de $A$ y $C$, tal que la recta $AM$ corta a la recta $BC$ en $K$. Sean $R$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la recta $AM$ y $Q$ el punto de intersección de las rectas $RA$ y $PM$. Sean $J$ el punto medio de $BC$ y $L$ el punto donde la recta paralela por $A$ a la recta $PR$ corta a la recta $PJ$. Demostrar que los puntos $L$, $J$, $A$, $Q$ y $K$ están sobre una misma circunferencia.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2 — Antofagasta (Chile), 28 de septiembre de 2016
Problema 1017
OIM, 2016-P4
Determinar el mayor número de alfiles que se pueden colocar en un tablero de ajedrez $8\times 8$ de forma que no haya dos alfiles en la misma casilla y cada alfil sea amenazado como máximo por uno de los otros alfiles.
Nota. Un alfil amenaza a otro si ambos se encuentran en dos casillas distintas de una misma diagonal. El tablero tiene por diagonales las dos diagonales principales y las paralelas a ellas.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1018
OIM, 2016-P5
Las circunferencias $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $K$. La tangente común a $\mathcal C_1$ y $\mathcal C_2$ más cercana a $K$ toca a $\mathcal C_1$ en $B$ y a $\mathcal C_2$ en $C$. Sean $P$ el pie de la perpendicular desde $B$ sobre $AC$ y $Q$ el pie de la perpendicular desde $C$ sobre $AB$. Si $E$ y $F$ son los puntos simétricos de $K$ respecto de las rectas $PQ$ y $BC$, probar que los puntos $A$, $E$ y $F$ son colineales.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1019
OIM, 2016-P6
Sean $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots,a_k$ dígitos. Probar que existe un entero positivo $n$ tal que los últimos $2k$ dígitos de $2^n$ son, en este orden, $a_1,a_2,\ldots,a_k,b_1,b_2,\ldots,b_k$, para ciertos dígitos $b_1,b_2,\ldots,b_k$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2024. Esta página ha sido creada mediante software libre