Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todos los enteros $n\geq 1$ que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos.

Determinar todos los polinomios $P(x)$ de grado $n\geq 1$ con coeficientes enteros tales que para todo número real $x$ se cumple \[P(x)=(x-P(0))(x-P(1))(x-P(2))\cdots(x-P(n-1)).\]

Sea $\Gamma$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por $B$ corta a $\Gamma$ en $D\neq B$ y la paralela a $AB$ que pasa por $C$ corta a $\Gamma$ en $E\neq C$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$ y las rectas $AC$ y $BE$ se cortan en $Q$. Sea $M$ el punto medio de $DE$. La recta $AM$ corta a $\Gamma$ en $Y\neq A$ y a la recta $PQ$ en $J$. La recta $PQ$ corta al circuncírculo del triángulo $BCJ$ en $Z\neq J$. Si las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, demuestra que $X$ pertenece a la recta $YZ$.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralela a $CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.

Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\rightarrow,\leftarrow,\uparrow,\downarrow$, $\searrow,\nearrow,\nwarrow,\swarrow$, siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $(n+1)^2$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ($\searrow,\nearrow,\nwarrow,\swarrow$) que en total puede tener un recorrido?

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$, $P(n)$ divide a $a_1^n+a_2^n+\ldots+a_{2019}^n$. Demuestra que $P$ es un polinomio constante.