Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB\lt AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos de la recta $MN$ tales que $\angle CBP = \angle ACB$ y $\angle QCB = \angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ corta a la recta $AC$ en un punto $D\neq A$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ corta a la recta $AB$ en $E\neq A$. Demostrar que las rectas $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.

Para cada entero positivo $n$, se define $T_n$ como el menor entero positivo tal que $1+2+···+T_n$ es múltiplo de $n$. Hallar todos los enteros positivos $m$ tales que $T_m\geq m$.

Nota: Por ejemplo, $T_5 = 4$ puesto que $1$, $1+2$ y $1+2+3$ no son múltiplos de $5$, pero $1+2+3+4$ sí es múltiplo de $5$.

Sea $n\geq 2$ un entero. Una sucesión no constante $(a_1,a_2,...,a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si no hay ningún número primo que divida simultáneamente a todas las diferencias $a_i-a_j$ con $i\neq j$. Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_\ell$ de una sucesión (con $k\neq \ell$) y sustituir $a_\ell$ por $a_\ell'=2a_k-a_\ell$

Demostrar que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas tales que es posible transforma una en la otra mediante un número finito de operaciones.

Demostrar que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades:

• Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.
• Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f(xf(x-y)) + yf(x) = x + y + f(x^2)$$ para cualesquiera números reales $x, y\in\mathbb{R}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno. Sean $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro, y sea $P$ un punto interior del segmento $HO$. La circunferencia de centro $P$ y radio $PA$ corta nuevamente a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Denotamos por $Q$ el punto simétrico de $P$ con respecto a la mediatriz de $BC$. Demostrar que los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ pertenecen a una misma circunferencia.