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III Olimpiada Matemática de Andalucía — 2021
Sesión 1 — Online, sábado 20 de febrero de 2021
Problema 641
Sean $x,y\geq 0$ números reales verificando $x + y = 2$. Demuestra que
\[x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2.\]
pistasolución 1info
Pista. Sustituye $x=1+t$ e $y=1-t$, siendo $0\leq t\leq 1$.
Solución. Sustituyendo $x=1+t$ e $y=1-t$ para $t\in[0,1]$, tenemos que
\begin{align*}x^2y^2(x^2+y^2)&=(1+t)^2(1-t)^2((1+t)^2+(1-t)^2)\\
&=2(1-t^2)^2(1+t^2)=2(1-t^2)(1-t^4)\leq 2.\end{align*}
Nota. La igualdad se alcanza si y solo si $t=0$, es decir, cuando $x=y=1$.
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Problema 642
Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $p(2018)p(2019) = 2021$.
Probar que no existe ningún entero $k$ tal que $p(k) = 2020$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Observa que $2021=43\cdot 47$ y que si $a$ y $b$ son enteros, entonces $a-b$ divide a $p(a)-p(b)$.
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Problema 643
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle ABC=60^\circ$ y $\angle BCA=80^\circ$. Sea $D$ un punto interior al triángulo, tal que $\angle DBC=40^\circ$ y $\angle BCD=70^\circ$. Demuestra que $AD$ es perpendicular a $BC$.
Sin pistas
Sin soluciones
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Problema 644
Dos jugadores A y B compiten en el siguiente juego. Se coloca una cierta cantidad $N_0\geq 2$ de piedras. Cada jugador alternadamente, comenzando por A, retira un cierto número de piedras en su turno, siendo este número mayor o igual que $1$ y menor o igual que la mitad de las piedras que quedan en el montón. Pierde el primer jugador que, en su turno, encuentra una única piedra en el montón. Justificar para qué valores de $N_0$ existe una estrategia ganadora para cada jugador. Si $N_0$ recorre todos los valores entre $2$ y $22021$ y ambos jugadores siguen su estrategia ganadora, hallar en cuántos casos ganaría cada uno.
Sin pistas
Sin soluciones
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