Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P =\{p_1, p_2,\ldots, p_{10}\}$ un conjunto de $10$ primos distintos y sea $A$ el conjunto de todos los enteros mayores que $1$ tales que en su descomposición en factores primos aparecen únicamente primos de $P$. Los elementos de $A$ se colorean de tal forma que:

• cada elemento de P tiene un color distinto;
• si $m,n\in A$, entonces $mn$ tiene el mismo color que $m$ o $n$;
• para cualquier par de colores distintos $R$ y $S$, no existen $j,k,m,n\in A$ (no necesariamente distintos), con $j$ y $k$ de color $R$ y $m$ y $n$ de color $S$, tales que $j$ divide a $m$ y $n$ divide a $k$, simultáneamente.

Demostrar que existe un primo de $P$ tal que todos sus múltiplos en $A$ tienen el mismo color.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sean $E$ y $F$ los puntos medios de los lados $AC$ y $AB$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $CEF$ y $\Gamma$ se cortan en $X$ y $C$, con $X\neq C$. La recta $BX$ y la tangente a $\Gamma$ por $A$ se cortan en $Y$. Sea $P$ el punto en el segmento $AB$ tal que $YP = YA$, con $P\neq A$, y sea $Q$ el punto donde se cortan $AB$ y la paralela a $BC$ que pasa por $Y$. Demostrar que $F$ es el punto medio de $PQ$.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1,b_2,b_3,\ldots$ la sucesión de números reales dada por \[b_n = \frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\ldots+a_n}, \text{para todo }n\geq 1\] Demostrar que, si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k\gt 2021^{2021}$.

Sean $a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R}$ números reales tales que \[a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=(a+b)^2+(x+y)^2=(b+c)^2+(y+z)^2=(c+a)^2+(z+x)^2.\] Demostrar que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$.

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Hallar dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,...,2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Dado un polígono regular de $n\geq 4$ lados, sea $V$ un subconjunto de $r$ vértices del polígono. Demuestre que si $r(r-3)\geq n$, entonces existen al menos dos triángulos congruentes cuyos vértices pertenecen a $V$.