Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determina todas las funciones $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$, siendo $\mathbb{N}_0=\{0, 1, 2, 3,\ldots\}$ el conjunto de enteros no negativos, que verifican simultáneamente las siguientes dos condiciones:

• $f(n + 2) − f(n) = 4n + 6$ para todo $n\in\mathbb{N}_0$.
• $f(2022) − f(2021) = 4044$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB = AC$. Sea $P$ un punto cualquiera del segmento $BC$ distinto de $B$ y $C$, y sea $N$ el punto medio de $AP$. Se construye el trapecio (convexo) $M_1M_2N_2N_1$, siendo $M_1$ el punto medio de $BP$, $M_2$ el punto medio de $PC$ y $M_1N_1$ y $M_2N_2$ perpendiculares a $BC$, tales que $N$, $N_1$ y $N_2$ están alineados. Demostrar que el área del trapecio es la mitad del área del triángulo dado.

Un grupo de hombres y mujeres se sienta alrededor de una mesa circular (equidistante cada uno con sus dos vecinos). En total hay $2n$ hombres y $2n$ mujeres. Demostrar que es posible trazar un diámetro de la mesa que divida el grupo en dos partes cada una e las cuales tiene exactamente $n$ hombres y $n$ mujeres.

Un número natural $n\lt 1000$ se dice $4$-malagueño si tiene la siguiente propiedad:

Para cualquier múltiplo $N$ de $n$ con cuatro cifras, pongamos $N = {abcd}$, se verifica que todas las permutaciones circulares de $N$ ($N' = {bcda}$, $N'' = {cdab}$, $N''' = {dabc}$) también son múltiplos de $n$. Por ejemplo, $11$ es un número $4$-malagueño.

Determina todos los números $4$-malagueños.