Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo equilátero con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $D$ un punto en el arco menor $BC$, con $DB\gt DC$. La mediatriz de $OD$ corta a $\Gamma$ en $E$ y $F$, estando $E$ en el arco menor $BC$. Sea $P$ el punto de corte de $BE$ y $CF$. Demostrar que $PD$ es perpendicular a $BC$.

Sea $S = \{13, 133, 1333,\ldots\}$ el conjunto de los enteros positivos formados por un uno seguido de treses. Consideremos una fila horizontal de $2022$ casillas, inicialmente vacías. Ana y Borja juegan de la siguiente manera: cada uno, en su turno, escribe un dígito de $0$ a $9$ en la casilla vacía situada más a la izquierda. Empieza a jugar Ana; luego ambos jugadores se alternan hasta que todas las casillas están llenas. Cuando el juego termina, en la fila se lee, de izquierda a derecha, un número $N$ de $2022$ dígitos. Borja gana si $N$ es divisible por algún número de $S$; en caso contrario gana Ana. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describirla.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

• $f(yf(x)) + f(x − 1) = f(x)f(y)$ para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$;
• $|f(x)|\lt 2022$ para todo $x\in\mathbb{R}$ tal que $0\lt x \lt 1$.

Se tiene una fila horizontal de $n$ casillas, $n\gt 2$, donde cada casilla está pintada de azul o rojo. Llamamos bloque a un conjunto de casillas consecutivas del mismo color. Arepito el cangrejo está inicialmente parado en la primera casilla, en el extremo izquierdo de la fila. En cada turno, él cuenta la cantidad $m$ de casillas pertenecientes al bloque más grande que contiene la casilla en la que está, y hace una de las siguientes acciones:

• Si la casilla en la que está es azul y hay al menos $m$ casillas a la derecha de él, Arepito se mueve $m$ casillas hacia la derecha;
• Si la casilla en la que está es roja y hay al menos $m$ casillas a la izquierda de él, Arepito se mueve $m$ casillas hacia la izquierda;
• En cualquier otro caso, se queda en la misma casilla y no se mueve más.

Para cada $n\gt 2$, determinar el menor entero $k$ para el que existe una coloración inicial de la fila con $k$ casillas azules para la que Arepito puede llegar a la última casilla, en el extremo derecho de la fila.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el semiplano definido por $BC$ que contiene a $A$, tales que $BP$ y $CQ$ son tangentes a $\Gamma$ con $PB = BC = CQ$. Sean $K$ y $L$ puntos distintos de $A$ en la bisectriz externa del ángulo $\angle CAB$, tales que $BK = BA$ y $CL = CA$. Sea $M$ el punto de corte de las rectas $PK$ y $QL$. Demostrar que $MK = ML$.

Sea $\mathbb{Z}^+$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z}^+$ tales que $$f(a)f(a + b) − ab$$ es un cuadrado perfecto para todo $a,b\in\mathbb{Z}^+$.