Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos en primer lugar que \[(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a^2+b^2)^2.\] Si escribimos $a^2+b^2=k(ac+bd)$ para cierto entero $k$, lo anterior nos dice que \[(ad-bc)^2=(k^2-1)(a^2+b^2)^2,\] de donde se deduce que $k^2-1$ ha de ser un cuadrado perfecto, luego ha de ser $k^2=1$. Esto nos lleva a que $k=1$ (ya que, si $k=-1$, entonces $ac+bd=-(a^2+b^2)\lt 0$). Por tanto, se cumple que $ac+bd=a^2+b^2=c^2+d^2$. Podemos escribir entonces $$ac+bd=|ac+bd|=\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2},$$ es decir, se da la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que nos dice que los vectores $(a,b)$ y $(c,d)$ son proporcionales. Como tienen el mismo módulo y todas las coordenadas son positivas, llegamos a que $c=a$ y $d=b$. Deducimos así que las cuaternas que cumplen la condición son de la forma $(a,b,a,b)$, para cualesquiera $a$ y $b$ enteros positivos. Como estas cuaternas cumplen la condición, deducimos que son las únicas.