Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero positivo. Se realizan las $35$ multiplicaciones: \[1\cdot n,\quad 2\cdot n,\quad\ldots \quad 35\cdot n.\] Demostrar que en alguno de estos resultados aparece al menos una vez el dígito $7$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que: \[2023f(f(x)) + 2022x^2 = 2022f(x) + 2023[f(x)]^2 + 1\] para todo entero $x\in\mathbb{Z}$.

Ana y Beto juegan con una balanza de dos platillos. Tienen $2023$ pesas etiquetadas con sus pesos, que son los números $1,2,\ldots, 2023$ sin que ninguno de ellos se repita. Cada jugador, en su turno, elige una pesa que todavía no estaba colocada en la balanza y la coloca en el platillo con menos peso en ese momento. Si la balanza está en equilibrio, la coloca en cualquier platillo. Ana comienza el juego, y siguen de esta manera alternativamente hasta colocar todas las pesas. Ana gana si al finalizar la balanza se encuentra equilibrada; en caso contrario, gana Beto. Determinar cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos en el plano. Para cada punto $A$ del plano que no pertenece a la recta $BC$, sea $G$ el baricentro del triángulo $ABC$. Hallar el lugar geométrico de los puntos $A$ tales que $\angle BAC + \angle BGC = 180^\circ$.

Una sucesión $P_1,P_2,\ldots,P_n$ de puntos en el plano (no necesariamente distintos) es carioca si existe una permutación $a_1,a_2,\ldots,a_n$ de los números $1,2,\ldots,n$ para la que los segmentos \[P_{a_1}P_{a_2},\quad P_{a_2}P_{a_3}, \ldots\quad P_{a_n}P_{a_1}\] son todos de la misma longitud. Determinar el mayor número $k$ tal que para cualquier sucesión de $k$ puntos en el plano, se pueden añadir $2023-k$ puntos de modo que la sucesión de $2023$ puntos es carioca.

Sea $P$ un polinomio de grado mayor o igual que $4$ con coeficientes enteros. Un entero $x$ se llama $P$-representable si existen números enteros $a$ y $b$ tales que $x = P(a)-P(b)$. Demostrar que, si para todo $N\geq 0$, más de la mitad de los enteros del conjunto $\{0,1,2,\ldots,N\}$ son $P$-representables, entonces todos los enteros pares son $P$-representables o todos los enteros impares son $P$-representables.