Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores \begin{eqnarray*} u&=&(a_1^{3/2},a_2^{3/2},\ldots,a_n^{3/2}),\\ v&=&(a_1^{1/2},a_2^{1/2},\ldots,a_n^{1/2}), \end{eqnarray*} nos dice que \[(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)^2\leq(a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3)(a_1+a_2\ldots+a_n).\] Observemos que en nuestro caso se da la igualdad puesto que $144^2=96\cdot216$ luego $u$ y $v$ son proporcionales, es decir, existe $\lambda\in\mathbb{R}$ tal que $u=\lambda v$, luego $a_k^{1/2}=\lambda a_k^{3/2}$ para $1\leq k\leq n$. Elevando al cuadrado, $a_k^3=\lambda^2a_k$ y, sumando en $k$, ha de cumplirse que $216=96\lambda^2$, de donde $\lambda=\frac{3}{2}$. Por tanto, $a_k^3=\frac{9}{4}a_k$ de donde tiene que ser $a_k=\frac{3}{2}$ para todo $k$ y, finalmente, tenemos que $n=64$. Es fácil ver que esta sucesión constante verifica las tres ecuaciones del enunciado.

Solución. Evidentemente, si tomamos $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$, tenemos una solución. Veremos ahora que, independientemente de los valores de las variables siempre se tiene una desigualdad $\leq$ en la expresión del enunciado y veremos que la igualdad sólo se alcanza para esta solución.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores \begin{eqnarray*} u&=&\left(\sqrt{x_1},\sqrt[3]{x_2},\ldots,\sqrt[n+1]{x_n}\right)\\ v&=&\left(1,1,\ldots,1\right) \end{eqnarray*} llegamos a que \[\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n+1]{x_n}\leq\sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2^{2/3}+x_3^{2/4}+\ldots+x_n^{2/(n+1)}}\] Ahora bien, como $x_2,\ldots,x_n$ son mayores o iguales que uno que uno, se tiene que $x_k^{2/(k+1)}\leq x_k$ pues $\frac{2}{k+1}\leq 1$. Esto demuestra la desigualdad que queremos y, si la igualdad se alcanza, entonces $x_2=\ldots=x_n=1$ por la última desigualdad y $x_1=1$ por la igualdad en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Deducimos que $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$ es la única solución al problema.

Solución. Cambiando el $1$ de los numeradores de las fracciones por $x+y+z$ y operando, la desigualdad a probar es equivalente a \[(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z)\geq 64xyz.\] Ahora bien, usando repetidamente la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, tenemos que \begin{eqnarray*} 64xyz=64\sqrt{xy}\sqrt{yz}\sqrt{xz}&\leq& 8(x+y)(y+z)(x+z)\\ &=&8\sqrt{(x+y)(y+z)}\sqrt{(x+y)(x+z)}\sqrt{(x+z)(y+z)}\\ &\leq&(x+y+y+z)(x+y+x+z)(x+z+y+z)\\ &=&(2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) \end{eqnarray*} con lo que la desigualdad está probada. La igualdad se alcanza si, y sólo si, $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Solución. Es fácil ver que $3m+n$ es exactamente el doble del número de aristas (segmentos que son lados de alguno de los triángulos) ya que $3m$ es el número total de lados de los $m$ triángulos y $n$ el número de lados del polígono. Por tanto $m+n=(3m+n)-2m$ es también un número par.

Para calcular el número de vértices interiores, usemos la fórmula de Euler: $C+V=A+2$, donde $C$ es el número de caras (regiones en que ha quedado dividido el plano), $V$ el número de vértices y $A$ el de aristas. El número de caras es $C=m+1$ ya que se cuenta también el exterior del polígono como cara y el número de aristas es $A=\frac{1}{2}(3m+n)$ como hemos visto anteriormente, luego $V=A-C+2=\frac{1}{2}(m+n+2)$. Como hay $n$ vértices que no son interiores (los del polígono original), el número de vértices interiores es $\frac{1}{2}(m-n+2)$.

Solución. Como cada número pertenece a $3$ subconjuntos y hay $8$ números, el número total de elementos entre todos los subconjuntos es $24$. Así, como cada subconjunto tiene $4$ elementos, habrá un total de $6$ subconjuntos.

Un ejemplo de familia en esta situación es tomar $\{1,2,3,4\}$, $\{5,6,7,8\}$, $\{1,2,5,6\}$, $\{3,4,7,8\}$, $\{1,3,5,7\}$ y $\{2,4,6,8\}$ como elementos de la misma.