Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Escribamos $2x+1=n^2$ para cierto entero positivo $n$. El siguiente cuadrado perfecto es $(n+1)^2=n^2+2n+1=2x+2n+2$, luego la condición de que los siguientes $x+1$ números no contengan un cuadrado, se puede escribir como $3x+2\lt 2x+2n+2$, es decir, $x\lt 2n$. Por lo tanto, tenemos que $n^2=2x+1\lt 4n+1$, o equivalentemente $n^2-4n-1\lt 0$. Resolviendo la igualdad, se llega fácilmente a que esta inecuación equivale a que $2-\sqrt{5}\lt n\lt 2+\sqrt{5}\approx 4.2$. Como $n$ tiene que ser un número impar (su cuadrado es impar) y positivo, tenemos solo las posibilidades $n=1$ y $n=3$. Tenemos que descartar también $n=1$ puesto que nos daría $x=0$, que no es positivo.

Comprobamos finalmente que $n=3$ sí es válido ya que nos da $x=4$ y entre los números entre $2x+2=10$ y $3x+2=14$ efectivamente no hay cuadrados perfectos. De esta forma, hemos probado que $x=4$ es la única solución al problema.

Solución. Podemos elegir un sistema de coordenadas en el espacio para escribir la esfera mediante la ecuación $x^2+y^2+z^2=r^2$, de forma que las caras del cubo estén en los planos $x=\pm r$, $y=\pm r$ y $z=\pm r$. Tomando un punto $(x_0,y_0,z_0)$ de la esfera, vamos a suponer por simetría que está en el primer octante y, por tanto, cumple $0\leq x_0,y_0,z_0\leq r$. Con esto podemos responder fácilmente a las preguntas propuestas

1. La suma de las distancias a las caras es \[(r-x_0)+(r+x_0)+(r-y_0)+(r+y_0)+(r-z_0)+(r+z_0)=6r,\] que no depende del punto (en realidad, esto es cierto para cualquier punto interior al cubo, no tiene ni por qué estar en la esfera).
2. La suma de los cuadrados de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^2+&(r+x_0)^2+(r-y_0)^2+(r+y_0)^2+(r-z_0)^2+(r+z_0)^2\\ &=6r^2+2(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^2+2r^2=8r^2, \end{align*} que tampoco depende del punto.
3. Finalmente, la suma de los cubos de las distancias es \begin{align*} (r-x_0)^3+&(r+x_0)^3+(r-y_0)^3+(r+y_0)^3+(r-z_0)^3+(r+z_0)^3\\ &=6r^3+3(x_0^2+y_0^2+z_0^2)=6r^3+3r^2=9r^3, \end{align*} donde hemos podido cancelar por parejas los términos de grado $1$ y $3$ en las variables $x_0,y_0,z_0$.

Nota. Lo mismo ya no es cierto para potencias de exponente $n\geq 4$. Por ejemplo, para $r=1$, el punto $(1,0,0)$ tiene suma de potencias $n$-ésimas de las distancias igual a $2^n+4$ y para punto $(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0)$ esta suma es $2(1-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+2(1+\frac{1}{\sqrt{2}})^n+2$. Este último número no es entero para $n\geq 6$ y es igual a $19$ para $n=4$ y a $31$ para $n=5$, luego no coincide con $2^n+4$.