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Trabajando módulo $3$, todo número al cuadrado es congruente con $0$ ó con $1$. Analizando las posibilidades en la ecuación de arriba, llegamos a que $x$ y $y$ han de ser múltiplos de $3$, luego $x=3a$ e $y=3b$ para ciertos enteros $a$ y $b$. Sustituyendo, tenemos que $3a^2+3b^2=z^2$, de donde $z$ también es múltiplo de $3$ y hemos encontrado un factor común a $x$, $y$ y $z$ (el $3$), contradiciendo nuestra suposición, luego la única solución es $x=y=z=0$.
Otra forma de enfocar esta solución es mediante la técnica del descenso infinito. Observemos además que esto nos dice que no existen números racionales $r$ y $s$ tales que $r^2+s^2=3$ (¿por qué?).
Nota. Otra forma equivalente de plantear esta misma solución es mediante la técnica del descenso infinito.
Sea $d$ el máximo común divisor de $x$ e $y$ y escribamos $x=a\cdot d$ e $y=b\cdot d$, donde $a$ y $b$ son enteros primos entre sí. Si dividimos ambos miembros de la ecuación entre $d^2$, obtenemos \[a^2-b^2=2abz.\] Ahora vamos a probar que $a=\pm 1$ y $b=\pm1$. Si $a$ fuera distinto de $\pm 1$, entonces existiría un primo $p$ que divide a $a$, luego $p$ también dividiría a $b^2=a^2-2abz=a(a-2bz)$, contradiciendo que $a$ y $b$ son primos entre sí, luego hemos probado por reducción al absurdo que $a=\pm 1$ y, de la misma forma $b=\pm 1$. De aquí que $x=\pm d$ e $y=\pm d$, es decir, $x$ e $y$ son iguales u opuestos.
Tenemos entonces las siguientes soluciones:Nota. Obviamente podría haberse sustituido $1999$ por cualquier otro número impar.