Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que los posibles restos de un cuadrado perfecto módulo $9$ son $0$, $1$, $4$ y $7$. Ahora bien, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y la suma de las cifras de $N$ (y de cualquier reordenación de sus dígitos) es $102$, que es congruente con $3$ módulo $9$, de donde deducimos que $N$ no puede reordenarse para obtener un cuadrado perfecto.

Solución. Observemos que la ecuación se puede escribir como \[(x-p)(y-p)=p^2.\] Si suponemos que $x\leq y$, como los divisores de $p^2$ son $\pm 1$, $\pm p$ y $\pm p^2$, tendrá que darse alguna de las siguientes posibilidades:

• $x-p=-p^2$, $y-p=-1$, de donde $x=p-p^2$ e $y=p-1$,
• $x-p=-p$, $y-p=-p$, de donde $x=y=0$,
• $x-p=1$, $y-p=p^2$, de donde $x=p+1$ e $y=p^2+p$,
• $x-p=p$, $y-p=p$, de donde $x=y=2p$.

Como la ecuación es simétrica en $x$ e $y$, deducimos que todas las soluciones son $(p-p^2,p-1)$, $(p-1,p-p^2)$, $(0,0)$, $(p+1,p^2+p)$, $(p^2+p,p+1)$ y $(2p,2p)$.

Solución. Consideremos la recta simétrica de $AP$ respecto de la bisectriz del ángulo $A$ y sea $M$ el punto en que ésta corta al lado $BC$. Si probamos que $M$ es el punto medio del segmento $BC$, habremos terminado. Usando el Teorema del Seno, tenemos que \begin{align*} BM&=AM\cdot\frac{\mathrm{sen}\angle BAM}{\mathrm{sen}\angle ABC},&CM&=AM\cdot\frac{\mathrm{sen}\angle CAM}{\mathrm{sen}\angle ACB}. \end{align*} Usando que $\angle ACB=\pi-\angle ABP$ y $\angle ABC=\pi-\angle ACP$ (ángulos semiinscritos) y la propiedad de simetría, llegamos a que \[\frac{BM}{CM}=\frac{\mathrm{sen}\angle BAM\cdot\mathrm{sen}\angle ABP}{\mathrm{sen}\angle ACP\cdot\mathrm{sen}\angle CAM}=\frac{\mathrm{sen}\angle CAP\cdot\mathrm{sen}\angle ABP}{\mathrm{sen}\angle ACP\cdot\mathrm{sen}\angle BAP}\] Usando otra vez el Teorema del Seno en los triángulos $ABP$ y $ACB$ y observando que $CP=BP$, obtenemos finalmente \[\frac{BM}{CM}=\frac{CP\cdot AP}{AP\cdot BP}=1.\]

Solución. Probaremos que la única sucesión que cumple las condiciones del enunciado es la de las potencias de $2$, esto es, $\{1,2,4,8,16,\ldots\}$. Que esta sucesión cumple el enunciado es obvio puesto que cada número natural se expresa, de forma única, en base $2$, lo que corresponde a expresarlo como suma de términos de esta sucesión.

Supongamos que $\{a_n\}$ es una sucesión cumpliendo el enunciado. El número $1$ se tiene que expresar como suma de términos de $\{a_n\}$, luego no queda otra posibilidad que $a_1=1$ (es estrictamente creciente). Probemos ahora por inducción que $a_n=2^{n-1}$ para lo que supondremos que $a_k=2^{k-1}$ para $0\leq k\lt n$. Todo número menor que $2^{n-1}$ se puede expresar como suma de términos distintos de $\{a_1,\ldots,a_{n-1}\}$ y $a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}=2^{n-1}-1$ es el mayor número así construído luego necesariamente $a_n=2^{n-1}$. En caso contrario, $2^{n-1}$ no podría expresarse como suma de términos distintos de la sucesión y hemos demostrado que esta es la única solución.

Solución. Llamemos $A$, $B$, $C$ y $D$ a los vértices del cuadrado en este orden y consideremos $M$ el punto medio de $CD$ y $N$ el punto medio de $AD$. Ahora bien, al dividir el cuadrado en dos subconjuntos uno de ellos tiene que contener a tres de los puntos del conjunto $\{A,B,C,M,N\}$ por el principio del palomar. Es fácil darse cuenta de que tomando tres puntos de este conjunto siempre tenemos que coger dos que disten al menos $\sqrt{5}/{2}$.

Como observación, es fácil darse cuenta de que esta cota no pude ser mejorada ya que puede dividirse el cuadrado en dos subconjuntos con diámetro exactamente $\sqrt{5}/2$. Intenta ver cómo hacer dicha división.