Problema 135
Determinar todas las ternas $(a,b,p)$ de números enteros, siendo $p$ un número primo, verificando la ecuación
\[a^2b^2=p^2(a-1)(b-1).\]
Solución. Los únicos casos en que la igualdad del enunciado es cero son $a=0,b=1$ y $a=1,b=0$, con $p$ cualquier número primo. Ahora bien, en el caso en que no es cero, como $a^2$ no tiene factores en común con $a-1$ y $b^2$ no tiene factores en común con $b-1$, $a-1$ tiene que dividir a $b^2$ y $b-1$ tiene que dividir a $a^2$. Distingamos dos casos dependiendo de cómo se reparte el factor $p^2$ del miembro de la derecha:
- Si $a^2=p^2(b-1)$ y $b^2=a-1$, entonces $a=b^2+1$ y $(b^2+1)^2=p^2(b-1)$ (lo que implica que $b-1$ es un cuadrado perfecto) pero el único posible factor primo común a $(b^2+1)^2$ y $(b-1)$ es el $2$ lo que implica que $b-1$ es una potencia par de dos, esto es $b=2^{2n}+1$ para cierto $n\in\mathbb{N}$ . Si $n=0$, entonces $b=2$ y $a=5$, con lo que $p=5$. Si $n>0$, sustituyendo y simplificando en la igualdad $(b^2+1)^2=p^2(b-1)$, tenemos que $2^{n-1}p=2^{2n-1}+2^n+1$. Como el miembro de la derecha es impar, necesariamente $n=1$, luego $b=5$, $a=26$ y $p=13$.
El caso en que $a^2=b-1$ y $b^2=p^2(a-1)$ se razona de forma similar y se llega a que $b=5$, $a=2$ y $p=5$, o bien $b=26$, $a=5$ y $p=13$.
- Si $a^2=p(b-1)$ y $b^2=p(a-1)$, entonces $a$ y $b$ son múltiplos de $p$, lo que lleva a que $p(b-1)=a^2$ sea múltiplo de $p^2$ y, por tanto, $b-1$ es múltiplo de $p$, lo cual es una contradicción, ya que no sería primo relativo con $b$.
En cualquier caso, hemos probado que las únicas ternas de números que son solución del problema son las de la forma $(0,1,p)$, $(1,0,p)$ para $p$ cualquier número primo y $(5,2,5)$, $(2,5,5)$, $(5,26,13)$ y $(26,5,13)$.