Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos la descomposición \[n^4+6n^3+11n^2+3n+31=(n^2+3n+1)^2-3(n-10).\] Es evidente que para $n=10$ tenemos un cuadrado perfecto. También puede comprobarse (caso por caso) que, para $n\lt 10$ no es un cuadrado perfecto, luego nos centraremos en el caso $n\gt 10$, donde tenemos que $3(n-10)\gt 0$, y vamos a ver que no puede ser un cuadrado perfecto. Razonando por reducción al absurdo, si para $n\gt 10$ tuviéramos un cuadrado perfecto, existiría $k\in\mathbb{N}$, $k\lt n^2+3n+1$ tal que \begin{eqnarray*} (n^2+3n+1)^2-3(n-10)&=&(n^2+3n+1-k)^2\\ &=&(n^2+3n+1)^2-(2kn^2+6kn+2k-k^2) \end{eqnarray*} y, por tanto, habrá de cumplirse que $2kn^2+6kn+2k-k^2=3(n-10)$. Puede comprobarse fácilmente que el término de la izquierda es creciente en $k$ para $1\leq k\lt n^2+3n+1$ luego si probamos que $2kn^2+6kn+2k-k^2\gt 3(n-10)$ para $k=1$ (es decir, $2n^2+6n+3\gt 3(n-10)$) y para todo $n\gt 10$, esta desigualdad estricta se extenderá para todo valor de $k\in[1,n^2+3n+1[$ y habremos llegado a la contradicción buscada. Ahora bien, esto es inmediato puesto que la desigualdad a probar se traduce en demostrar que $2n^2+3n+33\gt 0$ para todo $n\gt 10$.

Deducimos así que el único valor para el que el polinomio es un cuadrado perfecto es $n=10$.

Solución. Vamos a dar una familia infinita de ternas que cumplen la condición pedida. Para todo $a\in\mathbb{N}$, \[4a^4+4a^2,\ 4a^4+4a^2+1,\ 4a^4+4a^2+2\] son tres números consecutivos que cumplen que \begin{eqnarray*} 4a^4+4a^2&=&(2a^2)^2+(2a)^2\\ 4a^4+4a^2+1&=&(2a^2+1)^2\\ 4a^4+4a^2+2&=&(2a^2+1)^2+1^2 \end{eqnarray*} luego basta tomar $n=4a^4+4a^2$ para cada natural $a$.

Solución. Podemos expresar \begin{eqnarray*} \sum_{i,j=1}^n\cos(x_i-x_j)&=&\sum_{i,j=1}^n\left(\cos(x_i)\cos(x_j)+\mathrm{sen}(x_i)\mathrm{sen}(x_j)\right)\\ &=&\left(\sum_{i=1}^n\cos(x_i)\right)^2+\left(\sum_{i=1}^n\mathrm{sen}(x_i)\right)^2\geq 0, \end{eqnarray*} donde hemos usado la fórmula del coseno de una diferencia y agrupado términos.

Solución. En primer lugar, $101$ es un número primo. Los demás elementos de esta sucesión se pueden escribir como \[\sum_{k=0}^n 100^k=\frac{100^{n+1}-1}{99}=\begin{cases}(10^{n+1}+1)\cdot\frac{10^{n+1}-1}{9\cdot 11}&\text{si }n\text{ impar}\\\frac{10^{n+1}+1}{11}\cdot\frac{10^{n+1}-1}{9}&\text{si }n\text{ par}\end{cases}\] para $n\geq 2$ y los dos factores que aparecen en la última expresión son números enteros mayores que 1 (¿por qué?) luego, salvo 101, todos los elementos son números compuestos.

Solución. Si llamamos $n$ al número que buscamos y escribimos $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$, donde $p_1,\ldots,p_r$ son primos distintos y $e_1,\ldots,e_r$ son exponentes naturales, el número de divisores de $n$ viene dado por \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1).\] Como $74=2\cdot 37$, deducimos que, o bien $e_1=73$, o bien $e_1=1$ y $e_2=36$. Como el número buscado es múltiplo de $18=2\cdot 3^2$, no puede haber un único primo en la descomposición de $n$ luego hay exactamente dos primos, es decir, $n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}$. Para que sea múltiplo de $18$, el exponente de $3$ tiene que ser mayor que uno, luego la única posibilidad es $n=2\cdot 3^{36}$, que es el número buscado.