Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La respuesta es sí. Para demostrarlo, vamos a asociar un número entre $1$ y $7$ a cada casilla del tablero como muestra la siguiente tabla: \[\left[\begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6&7\\ 6&7&1&2&3&4&5\\ 4&5&6&7&1&2&3\\ 2&3&4&5&6&7&1\\ 7&1&2&3&4&5&6\\ 5&6&7&1&2&3&4\\ 3&4&5&6&7&1&2 \end{array}\right]\] Podemos observar que cada número aparece una vez en cada fila y en cada columna y no aparece más de una vez en la misma diagonal (los números van como a salto de caballo). Por otro lado, el principio del palomar nos asegura que si colocamos ocho fichas siempre habrá dos que compartan el mismo número y, por tanto, éstas no se hallarán en la misma columna, fila o diagonal.

Solución. Consideremos el producto de todos los signos, que es negativo ya que hay un número impar de negativos (tres). Cada vez que cambiamos una fila, columna o diagonal principal, estamos cambiando cuatro signos luego el producto de todos no cambia, pero queremos llegar a que todos sean positivos, donde el producto es positivo luego es imposible conseguirlo.

Solución. Trazamos los dos segmentos que unen los puntos medios de lados opuestos y tenemos así dividida la figura original en $4$ cuadrados de lado $\frac{1}{2}$. El principio del palomar nos dice que podemos elegir tres puntos que estén en el mismo cuadrado. Ahora es fácil darse cuenta de que el triángulo formado por estos tres puntos tiene a lo sumo área $\frac{1}{8}$ (¡demuestra por qué ocurre esto!) y hemos probado la afirmación del enunciado.

Solución. Como cada fila tiene $8$ casillas, si hay $33$ torres entonces alguna fila tendrá al menos $5$ torres y estas se atacan entre sí, lo que responde al apartado (a). Para responder al apartado (b) vamos a dividir el tablero de otra forma: a la casilla que se encuentra en la posición $(i,j)$ le asignamos el número $i+j$ módulo $8$, es decir, tenemos la siguiente distribución: \[\left[\begin{array}{cccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&0\\ 0&1&2&3&4&5&6&7\\ 7&0&1&2&3&4&5&6\\ 6&7&0&1&2&3&4&5\\ 5&6&7&0&1&2&3&4\\ 4&5&6&7&0&1&2&3\\ 3&4&5&6&7&0&1&2\\ 2&3&4&5&6&7&0&1 \end{array}\right]\] Entonces, según los números, tenemos dividido el tablero en ocho regiones de ocho elementos cada una y, si nos fijamos, si dos torres están en el mismo número no se atacan entre sí. El mismo argumento del principio del palomar nos dice que siempre habrá cinco torres que compartan el mismo número, luego tenemos probado el apartado (b).

Solución. Consideremos las dos primeras filas del rectángulo (de las tres que tiene) y observemos cada una de las siete columnas: si dos de ellas tienen dos fichas blancas o dos de ellas dos fichas negras, ya hemos encontrado el rectángulo buscado. En caso contrario, habrá como mucho una columna con dos fichas blancas y otra con dos fichas negras, luego las cinco columnas restantes tendrán combinaciones blanco-negro o negro-blanca. El principio del palomar nos dice que al menos una de estas combinaciones se repite tres veces. Ahora bien, en la tercera fila de las tres columnas donde se repite la combinación algún color ha de repetirse (son tres casillas y dos colores) luego en las columnas que se repita hemos encontrado un rectángulo con vértices del mismo color.