Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Tomemos $8$ de los puntos y tracemos todos los segmentos determinados por cada par de esos ocho puntos. Veamos que, pongamos donde pongamos el noveno sin estar alineado con los otros, el número de triángulos con vértices en tres de los ocho puntos que contienen a éste en el interior es par. Para ello, veremos que, moviendo el noveno punto $P$ atravesando cualquiera de los segmentos, la paridad no cambia, lo que demostrará el enunciado ya que, cuando el punto $P$ está en el exterior de la maraña de segmentos, dicho número de triángulos es cero y, por tanto, par.

Supongamos ahora que $P$ atraviesa un solo segmento, de vértices $P_1$ y $P_2$, es decir, pasa de una región de las delimitadas por el segmento $P_1P_2$ a otra contigua. Entonces, respecto de los triángulos que no tienen por vértices a $P_1$ y $P_2$ a la vez, $P$ estará en su interior si, y sólo si, lo estaba antes. Por otro lado, respecto de los triángulos que tienen a $P_1$ y $P_2$ por vértices, habrá $k$ de ellos que tendrán el otro vértice al lado de la recta $P_1P_2$ en que estaba $P$ al principio y $8-k$ que lo tendrán al lado al que ha atravesado. $P$ dejará de estar en el interior de los $k$ primeros triángulos y pasará a estar dentro de los $8-k$ segundos, luego el número cambiará en $8-2k$, que es par y, por tanto, la paridad se conserva.

Observemos que el mismo razonamiento se puede hacer para cualquier número impar de puntos, no necesariamente $9$.

Solución. Supongamos que hemos probado (b): entonces también tendremos probado (a) ya que podemos intercambiar $P$ y $Q$ y obtenemos que $AP=AQ$, luego el triángulo $APQ$ es isósceles y está inscrito en la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, de donde $AO$ es mediatriz de $PQ$ y, por tanto, es perpendicular a dicho segmento.

Probemos por tanto la igualdad (b) para lo que supondremos sin perder generalidad que en la recta $PQ$ los puntos están en el orden $PEFQ$. Los triángulos $OBM$ y $AEC$ son semejantes ya que son rectángulos y $\angle BAF=\angle BOM$ (por ser este último la mitad del ángulo central correspondiente al primero), luego \[\frac{OM}{BM}=\frac{AE}{CE}=\frac{AE\cdot AB}{CE\cdot AB}=\frac{AE\cdot AB}{AD\cdot BC},\] donde hemos usado que $CE\cdot AB=AD\cdot BC$ (esta cantidad es el doble del área de $ABC$). Usando ahora que $BC=2\cdot BM$, podemos despejar $2\cdot OM\cdot AD=AE\cdot AB$. Para probar finalmente que $AE\cdot AB=AP^2$, basta observar que los triángulos $APB$ y $AEP$ son semejantes lo cual se deduce de que comparten un ángulo (en el vértice $A$) y de que $\angle APB=\angle AEP$. Para ver esto último, observemos que $\angle APB=180-\angle ACB$ por arco capaz y $\angle AEP=180-\angle AEF$. Como el cuadrilátero $AEHF$ es inscriptible, otra vez por arco capaz tendremos que $\angle AEF=\angle AHF=90-\angle CAD=\angle ACB$, con lo que el problema queda resuelto.

Solución. Un número que cumpla dicha condición cumple que su cuadrado es un cubo perfecto luego el número en sí ha de ser un cubo perfecto (todos los exponentes en su descomposición de su cuadrado en factores primos han de ser múltiplos de $3$ luego los del propio número también). Como tiene que ser menor que $1000$, tenemos las posibilidades $1$, $8$, $27$, $64$, $125$, $216$, $343$, $512$ y $729$. Además, por el mismo motivo, la suma de sus cifras ha de ser un cuadrado perfecto luego de estos nos quedan $1$, $27$ y $216$, de los cuales sólo $1$ y $27$ cumplen la condición buscada.

Solución. El volumen del cubo de arista $n$ tiene que ser al menos $1996$ ya que cada cubo de los $1996$ con aristas naturales tiene volumen mayor o igual que $1$. Por lo tanto, $n^3\geq 1996$, de donde $n\geq 13$. Si probamos que un cubo de arista $13$ puede dividirse en $1996$ cubos de aristas números naturales, habremos terminado y $13$ será la respuesta.

En efecto, tenemos que, usando $1970$ cubos de arista $1$, $25$ cubos de arista $2$ y un cubo de arista $3$ se consigue el resultado ya que $13^3=1970\cdot 1^3+25\cdot 2^3+1\cdot 3^3$.

Solución. Basta numerar de la siguiente manera: a cada vértice le asignamos un número distinto entre $1$ y $n$, a cada lado el número del vértice opuesto y a cada diagonal el número que tiene el lado que es paralelo a ella. Que hay un vértice opuesto a un lado y que hay un único lado paralelo a cada diagonal está garantizado por haber un número impar de lados. Es fácil ver que esta numeración cumple las propiedades (a) y (b).

Observemos que, además se cumple que cualquier par de segmentos (lados o diagonales) que se cortan tienen número distinto.