Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Dado que la sucesión de los últimos dígitos de los números naturales es cíclica, también lo es la sucesión $a_n$. Concretamente, puede verse fácilmente que se repite cada veinte dígitos, los cuales son \begin{eqnarray*} 1&\to& 3\to 6\to 0\to 5\to 1\to 8\to 6\to 5\to 5\to\\ &\to&6\to 8\to 1\to 5\to 0\to 6\to 3\to 1\to 0\to 0 \end{eqnarray*} La suma de estos veinte números es igual a 70 y, como $1992=99\cdot 20+12$, deducimos que \[\sum_{n=1}^{1992} a_n=99\cdot\sum_{n=1}^{20} a_n+\sum_{n=1}^{12} a_n=99\cdot 70+54=6984.\]

Solución. Al cambiar un vértice de signo, cambian con él tres caras de signo, es decir, cambian cuatro signos. Por tanto, pueden ocurrir las siguientes situaciones cuando se cambia un vértice de signo:

• los cuatro signos pasan de positivos a negativos, con lo que la suma cambia en $-8$;
• pasan de un negativo y tres positivos a un positivo y tres negativos, con lo que la suma cambia en $-4$;
• pasan de dos positivos y dos negativos a dos positivos y dos negativos, con lo que la suma no cambia;
• pasan de un positivo y tres negativos a un negativo y tres positivos, con lo que la suma cambia en $+4$;
• pasan de todos negativos a todos positivos y la suma cambia en $+8$.

Partiendo de todos los signos positivos (con suma igual a $14$) y cambiando vértices de signo, podemos llegar a cualquier configuración pero los casos anteriores nos dicen que la suma será la original modificada en un múltiplo de $4$, es decir, será 14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$, $-10$ ó $-14$.

El valor $-14$ no puede ser puesto que implicaría que todos los números son negativos y no pueden ser simultáneamente negativos los cuatro vértices de una cara y la propia cara. Tampoco puede darse el caso $-10$ ya que habría dos números negativos y $12$ positivos. Los demás casos (14, 10, 6, 2, $-2$, $-6$) sí que pueden ocurrir y dejamos al lector que ponga ejemplos de cada uno de ellos.

Solución. Probando con los números $1$ y $-1$, podemos encontrar fácilmente las soluciones $(1,-1,1)$ y $(-1,-1,-1)$. Probaremos que son las únicas y, para ello, comenzaremos viendo que cualquier solución $(x,y,z)$ cumple que $y=-1$.

En efecto, si $y\gt -1$, en la primera ecuación tendríamos que $x\gt z$ y en la tercera que $x\lt z$, lo que nos lleva a una contradicción. Si ocurriera que $y\lt -1$, tendríamos que de la primera ecuación $x-z=-1-y\gt 0$ y, de la tercera, que $-x^3+z^3=-1-y^3\gt 0$, luego volvemos a caer en la misma contradicción. Deducimos entonces que $y=-1$.

Sustituyendo $y=-1$, tenemos que $x=z$ en la primera ecuación y $x^2+z^2=2$ en la segunda, luego $x=z=\pm 1$, de donde obtenemos las soluciones propuestas anteriormente. Observemos que ambas cumplen la tercera ecuación luego son las únicas soluciones.

Solución. Tenemos una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ cumpliendo las propiedades del enunciado. Por un lado, tenemos que $0=f(10)=f(2)+f(5)$, luego $f(2)=f(5)=0$ ya que ambos números son no negativos. Por tanto, se tiene que $f(1985)=f(5\cdot 397)=f(5)+f(397)=f(397)$. Por otro lado, las propiedades del enunciado nos dicen que \[0=f(3573)=f(3\cdot 3\cdot 397)=f(3)+f(3)+f(397)=f(397)\] ya que tanto $3573$ como $3$ tienen la cifra de las unidades igual a $3$. De aquí deducimos que $f(1985)=0$.

Solución. Consideremos la función auxiliar \[\varphi:\mathbb{R}-\{-1,0,1\}\to\mathbb{R}-\{-1,0,1\},\qquad\varphi(x)=\frac{1-x}{1+x},\] que cumple que $\varphi(\varphi(x))=x$.

La ecuación inicial se puede escribir como $f(x)^2f(\varphi(x))=64x$. Si sustituimos $x$ por $\varphi(x)$, obtenemos que $f(\varphi(x))^2\cdot f(x)=64\varphi(x)$, con lo cual tenemos el sistema \[\left\{\begin{array}{l}f(x)^2f(\varphi(x))=64x,\\f(\varphi(x))^2 f(x)=64\varphi(x).\end{array}\right.\] Elevando la primera igualdad al cuadrado y dividiéndola por la segunda (que no se anula ya que $x\neq\pm 1$, luego $\varphi(x)\neq 0$) llegamos a que $f(x)^3=64\frac{x^2}{\varphi(x)}$, de donde podemos despejar \[f(x)=\sqrt[3]{\frac{64x^2}{\varphi(x)}}=4\sqrt[3]{\frac{x^2(1+x)}{1-x}}.\] Puede comprobarse que esta función está bien definida para $x\neq-1$ y satisface la igualdad del enunciado, luego es la única solución al problema.