Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supondremos sin perder generalidad que $a\geq b\geq c\geq d\gt 0$ y llamaremos $E$ al miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado. Si definimos \[x_1=a^3,\quad x_2=b^3,\quad x_3=c^3,\quad x_4=d^3,\] \[y_1=\frac{1}{b+c+d},\quad y_2=\frac{1}{a+c+d},\quad y_3=\frac{1}{a+b+d},\quad y_4=\frac{1}{a+b+c},\] se cumple que $x_1\geq x_2\geq x_3\geq x_4\gt 0$ e $y_1\geq y_2\geq y_3\geq y_4\gt 0$. Por tanto, podemos aplicar la desigualdad de Chebyshev a estos números y obtenemos que \[E\geq\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right).\] La desigualdad entre las medias cúbica y aritmética aplicada a los $x_i$ nos dice que \[\frac{1}{4}(a^3+b^3+c^3+d^3)\geq\frac{1}{64}(a+b+c+d)^3\] y la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los $y_i$ que \[\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\geq\frac{16}{3(a+b+c+d)}.\] Usando estas dos últimas desigualdades, llegamos a que \[E\geq\frac{16(a+b+c+d)^3}{3\cdot 64(a+b+c+d)}=\frac{1}{12}(a+b+c+d)^2.\] Finalmente, usando que la condición del enunciado se escribe como $(a+c)(b+d)=1$ y usando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos \[(a+b+c+d)^2\geq 4(a+c)(b+d)=4,\] con lo que $E\geq\frac{1}{3}$ como queríamos probar. Si la igualdad se alcanza, entonces en la desigualdad entre las medias cúbica y aritmética para los $x_i$ se deduce que $a=b=c=d$ y , por la condición $ab+bc+cd+da=1$, estos cuatro números tienen que ser iguales a $\frac{1}{2}$, Se comprueba que, para esa elección, se alcanza la igualdad luego esa es la única solución.

Solución. Si $a=b$, entonces está claro el resultado. Supongamos entonces que $a>b$ y dividamos $a$ entre $b$, obteniendo $a=bq+r$, donde $0\leq r\lt b$ es el resto de la división. Repitiendo el proceso del enunciado, pasaremos de $\{a,b\}$ a $\{a-b,b\}$, luego a $\{a-2b,b\}$ y así hasta $\{a-qb,b\}$, es decir, $\{b,r\}$. Otra forma de decir esto es que tras un número de pasos llegaremos a quedarnos con el menor de los números y el resto de la división. Repitiendo esto lo que estamos haciendo es el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor, luego llegaremos a que uno de los números se acabará anulando. En el paso previo, los dos números serán iguales e iguales al máximo común divisor de $a$ y $b$.

Solución. Observemos en primer lugar que \[3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^n<3^n+5^n<5\cdot 3^{n-1}+5^n=5(3^{n-1}+5^{n-1})\] luego, si \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\), entonces tiene que ser \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\). Ahora bien, esto nos lleva a que \(5^n-4\cdot 5^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}-3^n\), es decir, \(3^{n-1}=5^{n-1}\), igualdad que sólo se tiene para \(n=1\). Deducimos que el único natural para el que se cumple es \(n=1\) (observemos que, en tal caso, \(3^n+5^n=8\) y \(3^{n-1}+5^{n-1}=2\)).

Solución. Dividamos a los 120 alumnos en 40 grupos de 3 personas cada uno y supongamos que la suma de las edades de cada grupo es a lo sumo de 50 años. Entonces, todas las edades sumarían como mucho \(40\cdot 50=2000<2002\), lo cual es una contradicción que proviene de lo que se ha supuesto, es decir, hemos probado que habrá un grupo cuya suma de edades sea, al menos, de 51 años.

Solución. Supongamos que $\{a,a+1,a+2,\ldots,a+m\}$ es un conjunto de números naturales consecutivos tales que su suma $S$ es igual a $1999$. Usando la fórmula de los términos de una progresión aritmética, podemos calcular \begin{eqnarray} S=a+(a+1)+\cdots+(a+m)&=&(m+1)\cdot a+(1+2+\cdots+m)\\ &=&(m+1)\cdot a+\frac{m(m+1)}{2}. \end{eqnarray} Sacando factor común $m+1$ y quitando denominadores, llegamos a que $(m+1)(2a+m)=3998$. La descomposición en factores primos de $3998$ es $2\cdot 1999$ ya que $1999$ es primo. Además, $m+1$ es un número positivo, luego tenemos las siguientes posibilidades:

• $m+1=1$ y $2a+m=3998$, en cuyo caso $m=0$ y $a=1999$.
• $m+1=2$ y $2a+m=1999$, en cuyo caso $m=1$ y $a=999$.
• $m+1=1999$ y $2a+m=2$, lo que nos lleva a un valor negativo de $a$.
• $m+1=3998$ y $2a+m=1$, que también nos lleva a un valor negativo de $a$.

Deducimos que las únicas sucesiones que cumplen el enunciado son la que tiene por único elemento al número $1999$ y la formada por los números $999$ y $1000$.