Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos el polinomio \[P(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x^{n+1}-1}{x-1},\] donde en la segunda igualdad hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica. Es fácil darse cuenta de que el miembro de la izquierda es \(P'(2)-1\) pero, para calcular, \(P'(x)\) en general usaremos la fórmula dada por la fracción. Derivando dicho cociente, obtenemos que \[P'(x)=\frac{nx^{n-1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.\] Ahora bien, haciendo \(x=2\), restando \(1\) y simplificando, obtenemos inmediatamente el miembro de la derecha de la igualdad del enunciado.

Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.

Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.

Solución. Observemos que \(7^2=49\) tiene resto \(19\) al dividirlo entre \(30\) y \(11^2=121\) tiene resto \(1\) al dividirlo entre \(30\). Vamos a demostrar que \(1\) y \(19\) son las únicas posibilidades.

Como \(p^2\) es impar, se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 2)\) y, como no es múltiplo de \(3\), se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 3)\). Estas dos congruencias nos llevan a que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 6)\) de donde, módulo \(30\), \(p^2\) puede ser congruente con \(1\), \(7\), \(13\), \(19\) ó \(25\). FInalmente, como \(p^2\) no es múltiplo de \(5\), deducimos que \(p^2\equiv 1\) ó \(p^2\equiv 4\ (\text{mod } 5)\) y, de las posibilidades anteriores, sólo quedan \(1\) y \(19\), como queríamos probar.

Solución. Supondremos sin perder generalidad que \(r\geq1\) pues, en caso contrario, cambiamos el orden de la progresión para invertir la razón \(r\). Entonces los tres lados del triángulo estarán dados por \(a\), \(ar\) y \(ar^2\), para cierto \(a\in\mathbb{R}\), y verifican \(a\leq ar\leq ar^2\). Como los ángulos correspondientes a cada lado están ordenados en el mismo orden que estos, se sigue que el ángulo mayor es aquél correspondiente al lado \(ar^2\). El teorema del coseno nos asegura que este ángulo, que llamaremos \(\alpha\), verifica \[\cos\alpha=\frac{a^2+a^2r^2-a^2r^4}{2a^2r}=\frac{1+r^2-r^4}{2r}.\] Que el triángulo sea acutángulo, rectángulo u obtusángulo dependerá de que \(\cos\alpha\) sea positivo, cero o negativo, respectivamente, luego será necesario analizar el signo de la función de \(r\) que aparece en el término de la derecha, para lo que será suficiente ver en qué valores se anula su numerador. Como la ecuación \(1+r^2-r^4=0\) es bicuadrada, puede resolverse fácilmente y queda como única solución positiva \[r_0=\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.\] Es fácil ver que, para \(r=r_0\) el triángulo es rectángulo, para \(1\lt r\leq r_0\) es acutángulo, y para \(r\geq r_0\) es obtusángulo.

El apartado (b) es inmediato puesto que si \(r=1\), el triángulo es equilátero (observar que \(1\leq r_0\)) y, si \(r\gt 1\), entonces \(a\lt ar\lt ar^2\), es decir, el triángulo es escaleno. En esta situación, el triángulo nunca puede ser isósceles.

Solución. Para resolver este problema, supondremos que las bisectrices correspondientes a los lados \(a\) y \(b\), que denotaremos por \(v_a\) y \(v_b\), respectivamente, coinciden y probaremos que \(a=b\). Para ello, usaremos la siguientes fórmulas conocidas para las longitudes \(v_a\) y \(v_b\): \[v_a^2=\frac{4bcp(p-a)}{b+c},\hspace{1cm}v_b^2=\frac{4acp(p-b)}{a+c},\] siendo \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) al semiperímetro. Si suponemos que \(v_a=v_b\), entonces la identidad de arriba nos asegura que \begin{eqnarray*} \frac{4bcp(p-a)}{b+c}=v_a^2=v_b^2=\frac{4acp(p-b)}{a+c}&\Leftrightarrow&(a+c)b(p-a)=(b+c)a(p-b)\\ &\Leftrightarrow&(a+c)b(b+c-a)=(b+c)a(a+c-b)\\ &\Leftrightarrow&-2 b a^2-c a^2+2 b^2 a-c^2 a+b c^2+b^2 c=0\\ &\Leftrightarrow&-(a-b)(c^2+a c+b c+2 a b)=0 \end{eqnarray*} donde hemos usado que \(p-a=\frac{1}{2}(-a+b+c)\) y \(p-b=\frac{1}{2}(a-b+c)\) y, en los últimos pasos hemos desarrollado la expresión y factorizado. Evidentemente, el término \(c^2+a c+b c+2 a b\) no puede anularse (es siempre positivo) luego necesariamente \(a-b=0\) y hemos probado que el triángulo es isósceles.