Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para resolver este problema, supondremos que las medianas correspondientes a los lados \(a\) y \(b\), que denotaremos por \(m_a\) y \(m_b\), coinciden y probaremos que \(a=b\). Para ello, usaremos la siguientes fórmulas conocidas para las longitudes \(m_a\) y \(m_b\): \[m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4},\hspace{1cm}m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\] Si \(m_a=m_b\), entonces \[\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}.\] Simplificando la igualdad anterior, podemos eliminar los términos en \(c\) y resulta \(a^2=b^2\), de donde claramente \(a=b\).

Solución. Podemos utilizar la fórmula que nos dice que el área del triángulo está dada por $S=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b$, donde $h_a$ y $h_b$ son las alturas correspondientes a los lados $a$ y $b$, respectivamente. A la vista de esto, si $h_a=h_b$, entonces es evidente que $a=b$.

Solución. Observemos que a lo sumo hay \(5\) edades distintas entre todos los participantes pues, en caso contrario, no se cumpliría el enunciado pues basta tomar \(5\) personas fijas e ir variando la sexta para formar grupos y en cada uno de ellos una edad ha de repetirse. En definitiva, tenemos \(5\cdot 5\cdot 2=50\) posibilidades distintas en cuanto a sexo, nacionalidad y edad para una persona. Como hay \(201=4\cdot 50+1\) personas en total, el principio del palomar nos asegura que hay cinco que comparten estas tres características.

Solución. Vamos a probar por inducción sobre $n$ que el valor de la suma es constante uno y, en particular, no depende de $n$. Para $n=0$, la suma tiene un único sumando, correspondiente a $j=k=0$, que vale uno. Supuesto cierto para $n-1$, veamos que también se cumple para $n$, lo que equivale a mostrar que los sumandos que se añaden al cambiar $n-1$ por $n$ suman cero. Dichos sumandos que se añaden corresponden con los valores de $j,k\geq 0$ para los que $j+k=n$ y su suma viene dada por \[\sum_{j+k=n}\frac{(-1)^k}{j!\cdot k!}=\sum_{r=0}^n\frac{(-1)^r}{r!(n-r)!}=\frac{1}{n!}\sum_{r=0}^n(-1)^r\left(\begin{array}{c}n\\r\end{array}\right)=\frac{(1-1)^n}{r!}=0\] donde hemos hecho el cambio $k=r$, $j=n-r$ y en el último paso hemos usado que la sumatoria es la correspondiente por el binomio de Newton al desarrollo de $(1-1)^n$.

Solución. Supongamos que tenemos dibujada una cuadrícula de rectas verticales y horizontales en las coordenadas enteras. Es fácil darse cuenta de que la longitud mínima corresponde a tomar cualquier camino dentro de la cuadrícula sólo moviéndonos hacia la derecha y hacia arriba. Por tanto, el número de caminos será el número de formas de ordenar \(a\) movimientos a la derecha y \(b\) movimientos hacia arriba, que viene dado por \[\frac{(a+b)!}{a!\cdot b!},\] ya que estamos considerando permutaciones de \(a+b\) elementos con repetición de un grupo de \(a\) elementos y otro de \(b\) elementos. Esto coincide con las combinaciones de \(a+b\) elementos tomados de \(b\) en \(b\) o de \(a\) en \(a\).