Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces del polinomio y supongamos que \(\alpha\lt\beta\lt\gamma\), luego \(\frac{1}{\alpha}\gt\frac{1}{\beta}\gt\frac{1}{\gamma}\). Que estén en progresión geométrica nos dice que \(\alpha\gamma=\beta^2\) y, que sus inversos estén en progresión aritmética nos dice que \(\frac{\alpha+\gamma}{\alpha\gamma}=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\gamma}=\frac{2}{\beta}\). Usando la condición \(\alpha\gamma=\beta^2\), llegamos a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), es decir, las raíces también están en progresión aritmética. En particular, la media aritmética y geométrica de \(\alpha\) y \(\gamma\) coinciden (son iguales a \(\beta\)) luego, por la desigualdad de las medias, \(\alpha=\beta=\gamma\). En consecuencia, \(b=-(\alpha-\beta-\gamma)=-3\alpha\) y \[x^3+bx^2+cx+d=(x-\alpha)^3=\left(x+\frac{b}{3}\right)^3=x^3+bx^2+\frac{b^2}{3}x+\frac{b^3}{27}\] y de aquí que \(c=\frac{b^2}{3}\) y \(d=\frac{b^3}{27}\).
Si no se nos ocurre el truco de las medias, otra forma de resolver el problema consiste en, una vez llegados a que \(\alpha+\gamma=2\beta\), plantear las ecuaciones de Cardano y despejar en función de \(\beta\).

Solución. Supongamos que las raíces del polinomio son \(\alpha-d\), \(\alpha\) y \(\alpha +d\), ya que están en progresión aritmética. Entonces, las ecuaciones de Cardano para este polinomio se escriben como \(3\alpha=-2c\), \(3\alpha^2-d^2=-c\) y \(\alpha^3-\alpha d^2=-10\). Nos quedamos ahora con que de la primera se puede despejar \(c=\frac{-3\alpha}{2}\) y sustituimos este valor en la ecuación del enunciado. Como \(\alpha\) es una raíz suya, tiene que cumplir \(P(\alpha)=0\). Sustituyendo \(\alpha\) y simplificando, llegamos que ha de cumplir que \[4\alpha^3-3\alpha^2-20=0\] es decir, \(\alpha\) es solución de \(4x^3-3x^2-20=0\). Esta ecuación tiene a \(x=2\) como solución real y otras dos soluciones complejas. Por tanto, \(\alpha=2\) y, de la tercera ecuación de Cardano, \(8-2d^2=-10\) luego \(d=\pm 3\). Deducimos que las raíces del polinomio son \(-1\), \(2\) y \(5\) y que \(c=-3\).

Solución. Podemos suponer sin perder generalidad que \(a=1\) (basta dividir la ecuación por \(a\), con lo que no cambian sus raíces ni cambia que \(b\) y \(c\) sean racionales). En tal caso, llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces y supongamos que \(\gamma=\alpha\beta\). Las relaciones de Cardano se escriben ahora como: \begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma&=&0\\ \gamma(1+\alpha+\beta)&=&c\\ \gamma^2&=&-d \end{eqnarray*} luego de la primera y segunda ecuaciones tenemos que \(\gamma(1-\gamma)=c\) y, como la tercera nos dice que \(-\gamma^2=d\), deducimos finalmente que \(\gamma=c-d\), que obviamente es racional.

Solución. Llamemos \(P(x)\) al polinomio producto. A partir de la expresión del enunciado, es fácil ver que \(P(x)=P(-x)\) (es decir, \(P(x)\) es una función par). Ahora bien, \(P(-x)\) tiene todos los coeficientes impares cambiados de signo con respecto a \(P(x)\) luego por la unicidad de los coeficientes de los polinomios, estos deberían ser iguales a su opuesto, lo que significa que han de ser cero.

Solución. Si llamamos a las raíces \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\), las ecuaciones de Cardano nos dicen que \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)=(2a)^2-2(a+1)\] Por tanto, la suma de los cuadrados de las raíces viene dada, en función de \(a\) por la fórmula \(S(a)=4a^2-2a-2\). Está claro que esta función tiene su mínimo en \(a=\frac{1}{4}\) (es una parábola) y la suma mínima es \(S(\frac{1}{4})=\frac{-9}{4}\).