Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supondremos que los números no son $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, pues en tal caso es inmediato que el enunciado se cumple.

Entre los diez números consecutivos hay siempre cinco números que son pares, dos que son múltiplos de 5 y uno que es múltiplo de 10: esto nos da un total de seis números que no pueden ser primos relativos con los demás (justamente los que acaban en 0, 2, 4, 5, 6 y 8). Ahora bien, a lo sumo hay cuatro de los diez números que son múltiplos de 3 y a lo sumo dos de ellos son impares y, por otro lado, a lo sumo hay dos múltiplos de 7 entre los diez números y a lo sumo uno de ellos es impar. Esto nos dice que como mucho hay 9 números que comparten alguno de los factores $\{2,3,5,7\}$ con algún otro número y, por tanto, hay al menos un número cuyo menor factor primo es mayor o igual que 11 (aquí es fundamental que el $1$ no sea uno de los números, caso que hemos excluído al principio). Es obvio que este número es primo relativo con todos los demás.

Solución. La forma más sencilla de resolver este problema darse cuenta de que el número en cuestión tiene que ser un cubo perfecto de 4 cifras y, por tanto, tiene que ser el cubo de un número entre 10 y 21. En este punto, podría probarse caso por caso y llegar a la solución, aunque vamos a ver que podemos descartar algunos números directamente.

Es bien sabido que la suma de las cifras tiene el mismo resto que el propio número módulo $9$ luego si llamamos $r$ a dicho resto, ha de cumplirse que $r\equiv r^3\ (\text{mód }9)$, es decir, $r\equiv -1$, $r\equiv 0$ ó $r\equiv 1\ (\text{mód }9)$. Esto nos lleva a que el número es el cubo de 10, 17, 18 ó 19. Probando cada uno de estos cuatro casos llegamos a que los únicos que cumplen la condición son $17^3=4913$ y $18^3=5832$.

Solución. Supongamos que un número que cumple las condiciones del enunciado está dado por \(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\)), donde \(0\leq a_k\leq 9\) para todo \(k\). Entonces, la segunda condición puede escribirse como \[6\cdot 10^k+\sum_{k=1}^n 10^{k-1}a_k=4\left(\sum_{k=1}^n 10^ka_k+6\right)\] Como \(6\cdot 4=24\), el miembro de la izquierda tiene que acabar en \(4\), esto es, \(a_1=4\). Observemos ahora que sabemos que el número termina en \(46\) y, como \(46\cdot 4=184\), el miembro de la izquierda termina en \(84\) luego el número que buscamos termina en \(846\). Reiterando el proceso tres veces más, tenemos que los seis últimos dígitos de un número que cumpla las propiedades del enunciado tienen que ser \(153846\) y, en particular, tal número tiene que tener al menos seis cifras significativas. Como el propio \(153846\) cumple que \(615384=4\cdot 153846\), éste es el menor número que lo cumple.

Solución. La condición de que no se ataquen quiere decir que no haya dos en la misma fila o en la misma columna. Vamos a fijarnos en primer lugar en las columnas. Como cada torre tiene que estar en una columna distinta, llegamos a que tenemos que elegir un subconjunto de $n$ columnas de las $8$ existentes, lo que se puede hacer de $\binom{8}{n}$ maneras. Ahora bien, para cada una de estas elecciones, tendremos que hacer una elección de filas: para la primera columna hay un total de $8$ posibles filas, para la segunda $7$ (tiene que ser distinta de la fila elegida en la primera), para la tercera $6$ y así sucesivamente hasta la $n$-ésima, en que habrá $8-n+1$ posibilidades. Por tanto el número que se pregunta en el enunciado es $$\binom{8}{n}\cdot 8\cdot 7\cdots (8-n+1)=\frac{(8!)^2}{n!((8-n)!)^2}.$$ Observemos que no estamos contando ninguna posición más de una vez, ya que en dos posiciones distintas tienen distinto conjunto de columnas o distintas filas.

Solución. Supongamos por reducción al absurdo que \(n\) es un entero mayor que \(10\) tal que todos sus dígitos están en el conjunto \(\{1,3,7,9\}\) y sólo tiene factores primos menores que \(11\). Está claro que no puede tener factores \(2\) ó \(5\) (la cifra de las unidades no estaría en el conjunto admisible de cifras) luego \(n\) tiene que ser de la forma \(3^a7^b\) para ciertos exponentes \(a\) y \(b\). Probaremos que para cualquier número de la forma \(3^a7^b\) la cifra de las decenas es par y habremos terminado. Probaremos esto por inducción. Es claro que para \(a=0,b=1\) tenemos \(n=07\) y para \(a=1,b=0\) tenemos \(n=03\), y ambos tienen la cifra de las decenas par. Si ahora probamos que al multiplicar por \(3\) ó por \(7\) un número que tiene el número se las decenas par y el de las unidades 1, 3, 7 ó 9 volvemos a obtener otro número con las mismas características habremos terminado. Esto se deduce de que \(1\cdot 3=03\), \(3\cdot 3=09\), \(7\cdot3=21\), \(9\cdot 3=27\), \(1\cdot 7=07\), \(3\cdot 7=21\), \(7\cdot 7=49\) y \(9\cdot 7=63\), y de que la cifra de las decenas siempre será par ya que es la suma de la cifra de las decenas de uno de los productos anteriores y un número par.